Udowodnić, że układ ma nieskończoną ilość rozwiązań w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+3 = 4ab \\ c^2+d^2+3 = 4cd \\ 4c^3 - 3c =a \end{cases} }\)
Układ cztery zmienne
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Układ cztery zmienne
Witam to równanie ładnie się rozwiązuje...
Weźmy pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ a^2-4ba+b^2+3=0}\)
potraktujmy to jako równanie kwadratowe ze wzglądu na \(\displaystyle{ a}\)...
rozwiążmy go:
\(\displaystyle{ \Delta=12b^2-12}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2 \sqrt{3b^2-3} }\)
chodzi teraz o pierwiastek, rozwiążmy to równanie w całkowitych:
\(\displaystyle{ 3b^2-3=x^2}\)
Jest to równanie Pellego i nie wdając się w teorię tych równań rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ b=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^n+\left( 2- \sqrt{3} \right)^n }{2} }\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{3} \left( 2- \sqrt{3} \right)^n- \sqrt{3} \left( 2+ \sqrt{3} \right)^n }{2} }\)
nie rozpatrujemy wszystkich przypadków bo i poco...
z tego:
\(\displaystyle{ a= \frac{4b+ \sqrt{3}\left( 2- \sqrt{3} \right)^n- \sqrt{3}\left( 2+ \sqrt{3} \right)^n }{2} }\)
Po uproszczeniu i skasowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ a=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{n+1}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{n+1}}{2} }\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{n}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{n}}{2} }\)
Analogicznie , drugie równanie jest symetryczne więc możemy rozwiązanie przepisać:
\(\displaystyle{ c=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{m+1}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{m+1}}{2} }\)
\(\displaystyle{ d=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{m}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{m}}{2} }\)
Oczywiście widać, że:
\(\displaystyle{ r= 2+ \sqrt{3} , r^{-1}=2- \sqrt{3}}\)
Obliczyczyliśmy już prawie wszystko, zostało tylko ostatnie równanie , podstawmy do niego:
\(\displaystyle{ 4c^3-3c=- \frac{r^{3m+3}+ \frac{1}{r^{3m+3}} }{2}=- \frac{r^{n+1}+ \frac{1}{r^{n+1}} }{2}=a}\)
Z tego równość będzie wtedy gdy:
\(\displaystyle{ r^{3m+3}+ \frac{1}{r^{3m+3}}=r^{n+1}+ \frac{1}{r^{n+1}}}\)
lub:
\(\displaystyle{ r^{3m+3}=r^{n+1}}\)
lub:
\(\displaystyle{ 3m+3=n+1}\)
z tego mamy:
\(\displaystyle{ n=3k+2 , m=k}\)
Więc ostateczne rozwiązania będą:
\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{2}\left( r^{3k+3}+r^{-3k-3}\right) }\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{1}{2}\left( r^{3k+2}+r^{-3k-2}\right) }\)
\(\displaystyle{ c=- \frac{1}{2}\left( r^{k+1}+r^{-k-1}\right) }\)
\(\displaystyle{ d=- \frac{1}{2}\left( r^{k}+r^{-k}\right) }\)
Dla:
\(\displaystyle{ r=2+ \sqrt{3} , k \in \ZZ}\)
Oczywiście pominąłem symetryczne rozwiązania, jest ich więcej, przypadków , przypadeczków, no ale nie trzeba więcej jest tylko nieskończenie wiele a to raczej wystarcza...
Aha sprawdzałem i raczej spełniają układ równań...
Dobranoc...
Weźmy pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ a^2-4ba+b^2+3=0}\)
potraktujmy to jako równanie kwadratowe ze wzglądu na \(\displaystyle{ a}\)...
rozwiążmy go:
\(\displaystyle{ \Delta=12b^2-12}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2 \sqrt{3b^2-3} }\)
chodzi teraz o pierwiastek, rozwiążmy to równanie w całkowitych:
\(\displaystyle{ 3b^2-3=x^2}\)
Jest to równanie Pellego i nie wdając się w teorię tych równań rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ b=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^n+\left( 2- \sqrt{3} \right)^n }{2} }\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{3} \left( 2- \sqrt{3} \right)^n- \sqrt{3} \left( 2+ \sqrt{3} \right)^n }{2} }\)
nie rozpatrujemy wszystkich przypadków bo i poco...
z tego:
\(\displaystyle{ a= \frac{4b+ \sqrt{3}\left( 2- \sqrt{3} \right)^n- \sqrt{3}\left( 2+ \sqrt{3} \right)^n }{2} }\)
Po uproszczeniu i skasowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ a=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{n+1}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{n+1}}{2} }\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{n}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{n}}{2} }\)
Analogicznie , drugie równanie jest symetryczne więc możemy rozwiązanie przepisać:
\(\displaystyle{ c=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{m+1}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{m+1}}{2} }\)
\(\displaystyle{ d=- \frac{\left( 2+ \sqrt{3} \right)^{m}+\left( 2- \sqrt{3} \right)^{m}}{2} }\)
Oczywiście widać, że:
\(\displaystyle{ r= 2+ \sqrt{3} , r^{-1}=2- \sqrt{3}}\)
Obliczyczyliśmy już prawie wszystko, zostało tylko ostatnie równanie , podstawmy do niego:
\(\displaystyle{ 4c^3-3c=- \frac{r^{3m+3}+ \frac{1}{r^{3m+3}} }{2}=- \frac{r^{n+1}+ \frac{1}{r^{n+1}} }{2}=a}\)
Z tego równość będzie wtedy gdy:
\(\displaystyle{ r^{3m+3}+ \frac{1}{r^{3m+3}}=r^{n+1}+ \frac{1}{r^{n+1}}}\)
lub:
\(\displaystyle{ r^{3m+3}=r^{n+1}}\)
lub:
\(\displaystyle{ 3m+3=n+1}\)
z tego mamy:
\(\displaystyle{ n=3k+2 , m=k}\)
Więc ostateczne rozwiązania będą:
\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{2}\left( r^{3k+3}+r^{-3k-3}\right) }\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{1}{2}\left( r^{3k+2}+r^{-3k-2}\right) }\)
\(\displaystyle{ c=- \frac{1}{2}\left( r^{k+1}+r^{-k-1}\right) }\)
\(\displaystyle{ d=- \frac{1}{2}\left( r^{k}+r^{-k}\right) }\)
Dla:
\(\displaystyle{ r=2+ \sqrt{3} , k \in \ZZ}\)
Oczywiście pominąłem symetryczne rozwiązania, jest ich więcej, przypadków , przypadeczków, no ale nie trzeba więcej jest tylko nieskończenie wiele a to raczej wystarcza...
Aha sprawdzałem i raczej spełniają układ równań...
Dobranoc...