Zakładasz nie wprost zaprzeczenie wniosku aksjomatu indukcji i dochodzisz do sprzeczności
Przepraszam kierunek implikacji powinien być odwrotnie
Chciałem zacząć właśnie od
\(\displaystyle{ \text{ZIM} \Rightarrow \text{ZM}}\) ale już późno było i się rozmyśliłem bo to dłuższy dowód od tego (a kierunku implikacji nie zmieniłem). Dowód z mojego ostatniego postu pokazuje, że
\(\displaystyle{ \text{ZM} \Rightarrow \text{ZIM}}\) przy czym jest nie wprost czyli zakładam
\(\displaystyle{ \text{ZM} \wedge \neg \text{ZIM}}\) pokazując sprzeczność. Założenie
\(\displaystyle{ \text{ZM} }\) pozwala mi wybierać z podzbiorów element najmniejszy
\(\displaystyle{ n_0}\) a
\(\displaystyle{ \neg \text{ZIM}}\) polega na założeniu
\(\displaystyle{ (1)}\) i
\(\displaystyle{ (2)}\) oraz zanegowaniu tezy czyli
\(\displaystyle{ \NN \subset S}\). Okazuje się bowiem, że jeśli
\(\displaystyle{ S}\) jest podzbiorem właściwym
\(\displaystyle{ \NN}\) to
\(\displaystyle{ \NN \setminus S}\) jest niepusty z
\(\displaystyle{ \text{ZM}}\) można powiedzieć, że
\(\displaystyle{ n_0}\) jest najmniejszy w
\(\displaystyle{ \NN \setminus S}\) czyli
\(\displaystyle{ \red{n_0-1}\in S}\) ale z
\(\displaystyle{ (2)}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \red{n_0-1}+1\in S}\) czyli
\(\displaystyle{ n_0\in S}\) ale to jest sprzeczność bo nie można zajść to jednocześnie z
\(\displaystyle{ n_0\in \NN \setminus S}\). Formalnie trzeba jeszcze zauważyć, że
\(\displaystyle{ 1\in S}\) dlatego
\(\displaystyle{ n_0>1}\) tak więc
\(\displaystyle{ n_0-1\in\NN}\). To jeśli chodzi o konstrukcję i idee dowodu.
co by oznaczało, że własnie dowiodłeś aksjomatu
Aksjomat indukcji jest tu aksjomatem tylko z nazwy. My traktujemy
\(\displaystyle{ \text{ZIM}}\) jako twierdzenie.
Wikipedia pisze:W wielu źródłach można zamiast „aksjomatu indukcji” spotkać nazwę „twierdzenie o indukcji”; odpowiedź na pytanie tytułowe zależy od kontekstu, w którym jest ono stawiane.
W zastosowaniach matematyki, matematyce elementarnej, czy matematyce dyskretnej dominuje tendencja do mówienia o „twierdzeniu o indukcji matematycznej”, również dlatego, by uniknąć przesadnej formalizacji. Wprowadzając indukcję matematyczną podaje się często dowód twierdzenia o indukcji korzystając z dość intuicyjnej zasady dobrego uporządkowania liczb naturalnych, tzn. założenia, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.
Natomiast w logice, szczególnie gdy liczby naturalne wprowadzane są za pomocą aksjomatów Peana, indukcja traktowana jest jako aksjomat. Z powodu kwantyfikowania po zbiorach w gruncie rzeczy jest to aksjomat logiki drugiego rzędu; w przypadku, gdy rozwijana teoria jest formalizowana w logice pierwszego rzędu, słowo „aksjomat” w wyrażeniu „aksjomat indukcji” należy rozumieć w istocie jako schemat aksjomatu: nieskończoną listę aksjomatów, osobnych dla każdej formuły.
Gosda natomiast pokazał to co ja chciałem na początku czyli
\(\displaystyle{ \text{ZIM} \Rightarrow \text{ZM}}\) co robi się również nie wprost zakładając
\(\displaystyle{ \neg \text{ZM} \wedge \text{ZIM} }\) i wnioskując sprzeczność. Tą konstrukcję widać to szczególnie w zdaniu:
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ X}\) nie ma elementu najmniejszego (co jest zaprzeczeniem zasady minimum). Tym samym pokazana została implikacja w dwie strony pomiędzy
\(\displaystyle{ \text{ZM}}\) a
\(\displaystyle{ \text{ZIM}}\) czyli są to równoważne twierdzenia.
PS polecam zerknąć jeszcze tu