Dwa składniki

[mol_ksiazkowy]

Liczby całkowite nieujemne są takie, że \(\displaystyle{ \frac{x^2-1}{y+1} + \frac{y^2-1}{x+1} }\) jest liczbą całkowitą. Wykazać, że oba składniki tej sumy są liczbami całkowiytmi.

[niunix98]

Wystarczy rozważyć wielomian \(\displaystyle{ W(z)=\left( z-\frac{x^2-1}{y+1}\right) \left( z-\frac{y^2-1}{x+1}\right)=z^2 - \left( \frac{x^2-1}{y+1} + \frac{y^2-1}{x+1}\right)z + (x-1)(y-1) }\). Zgodnie z założeniem, ma on współczynniki całkowite, a pierwiastki są wymierne. Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu wynika teraz, że pierwiastki tego wielomianu są postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p|(x-1)(y-1)}\) i \(\displaystyle{ q|1}\), czyli są całkowite. To kończy dowód.