Wyznacz resztę z dzielenia sumy przez 12

[Bran]

Wyznacz resztę z dzielenia sumy
\(\displaystyle{ 1! + 2! + 3! + 4! + \ldots + 100!}\) przez \(\displaystyle{ 12}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 4! = 2 \cdot 12}\), to
\(\displaystyle{ 4! + 5! + \ldots + 100! \equiv 0 (\mbox{mod }12)}\)

Zauważmy również, że \(\displaystyle{ 1! +2! + 3! \equiv 1! (\mbox{mod }12)}\)
Resztą z dzielenia \(\displaystyle{ 1! + 2! + 3! + 4! + \ldots + 100!}\) przez \(\displaystyle{ 12}\) jest więc \(\displaystyle{ 1!}\) czyli \(\displaystyle{ 1}\).


Problem jest taki, że to jest zadanie na wykorzystanie kongruencji, a tak naprawdę sprowadza się do obliczenia reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 13}\) przez \(\displaystyle{ 12}\). Do niczego tu nie jest potrzebna kongruencja - stąd moje pytanie:
Czy można przedstawić rozwiązanie tego zadania, gdzie kongruencje naprawdę "robią robotę", a nie są tylko na siłę, jak w moim rozwiązaniu?

[a4karo]

`1!+2!+3!\ne 13`. Bardzo ładne i proste rozwiązanie. I niczego mu nie brak (prawie)

[Bran]

Dziękuję Panu! Oczywiście powinno być:
\(\displaystyle{ 1! + 2! + 3! \equiv -3 (\mbox{mod }12)}\)

A \(\displaystyle{ -3}\) modulo \(\displaystyle{ 12}\) jest równe \(\displaystyle{ 9}\), więc to jest nasza reszta.