NWD - dowod wnioskow

[slabymatematyk99]

Zad 1.
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) to \(\displaystyle{ NWD(a^{2}+b^{2}, a+b)=1 }\) lub =2

Zad 2.
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) to \(\displaystyle{ (a^{2}+2b, a^{4}+4a^{b}+3b^{2})=1}\)

proszę o dokładne rozpisanie i wytłumaczenie na zajęciach (studia) mieliśmy różne tw dotyczące NWD jednak nie wiem jak zrobić te przykłady

[Premislav]

Zadanie drugie chyba jest źle przepisane. Co do pierwszego:
zaczniemy od wykazania, że gdy \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ d\in \NN}\) dzielącego \(\displaystyle{ a+b}\) zachodzi \(\displaystyle{ \NWD(a,d)=\NWD(b,d)=1}\). Istotnie, przypuśćmy nie wprost, że pewna liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) będąca dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ d}\) dzieli też \(\displaystyle{ a}\). Skoro \(\displaystyle{ p|d, \ d|(a+b)}\), to także \(\displaystyle{ p|(a+b)}\) z przechodniości podzielności, a skoro \(\displaystyle{ p|a}\), to mamy
\(\displaystyle{ p|(a+b)\wedge p|a}\), a stąd \(\displaystyle{ p|b}\), wszak \(\displaystyle{ b=(a+b)-a}\), tj. \(\displaystyle{ p|a, \ p|b}\), ale to jest sprzeczność, wszakże \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\).
Analogicznie dla \(\displaystyle{ b}\), zmieniają się tylko znaczki.
Teraz niech \(\displaystyle{ d=\NWD\left(a^{2}+b^{2}, a+b\right)}\). Oczywiście \(\displaystyle{ d|(a+b)^{2}}\) (a nawet \(\displaystyle{ d^{2}|(a+b)^{2}}\), ale to nam niepotrzebne), więc także \(\displaystyle{ d|2ab}\), mamy bowiem \(\displaystyle{ 2ab=(a+b)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)}\) i zarówno odjemna, jak i odjemnik są podzielne przez \(\displaystyle{ d}\). Z udowodnionego wcześniej faktu mamy, że \(\displaystyle{ \NWD(d,a)=\NWD(d,b)=1}\), a stąd natychmiast \(\displaystyle{ \NWD(d,ab)=1}\) (gdyby jakiś dzielnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ d}\) dzielił \(\displaystyle{ ab}\), to dzieliłby też \(\displaystyle{ a}\) bądź \(\displaystyle{ b}\), co jest niemożliwe). Wobec tego \(\displaystyle{ d|2}\), tj. \(\displaystyle{ d\in\left\{1,2\right\}}\).

[slabymatematyk99]

w Zadaniu 2 powinno być \(\displaystyle{ a^{4}+4ab+3b^{2}}\)

[Premislav]

W takim razie teza zadania jest fałszywa. Niech \(\displaystyle{ a\equiv 2\pmod{3}, \ b\equiv 1\pmod{3}}\), wówczas
\(\displaystyle{ 3|\left(a^{2}+2b\right)}\), bo \(\displaystyle{ a^{2}\equiv 1\pmod{3}, \ 2b\equiv 2\pmod{3}}\), a ponadto
\(\displaystyle{ 3|\left(a^{4}+4ab+3b^{2}\right)}\), gdyż \(\displaystyle{ a^{4}\equiv 1\pmod{3}, \ 4ab\equiv 2\pmod{3}, \ 3b^{2}\equiv 0\pmod{3}}\)
W celu konstrukcji kontrprzykładu wystarczy więc dobrać względnie pierwsze \(\displaystyle{ a,b}\) spełniające powyższe warunki, na przykład \(\displaystyle{ a=2, \ b=1}\). Bardzo się na Ciebie wkurzyłem, ponieważ przez godzinę próbowałem udowodnić tę fałszywą tezę.

Może miało być \(\displaystyle{ \NWD\left(a^{2}+2b, \ a^{4}+4a^{\red{2}}b+3b^{2}\right)=1}\) przy tych samych założeniach, wtedy to już prawda.