Wymierność potęgi

[41421356]

Korzystając z faktu, iż \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną uzasadnić, że istnieją takie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\), że liczba \(\displaystyle{ a^b}\) jest liczbą wymierną.

[kerajs]

np:
\(\displaystyle{ a=2 ^{ \sqrt{2} } \\
b= \sqrt{2} }\)

[a4karo]

np:
\(\displaystyle{ a=2 ^{ \sqrt{2} } \\
b= \sqrt{2} }\)

To najpierw trzeba pokazać, że `a` jest niewymierne.

Lepiej tak: "\(a=\sqrt2^{\sqrt2}, b=\sqrt2\)

Wtedy albo `a` jest wymierne albo \(a^b=2\) jest.

[41421356]

Dziękuję za wskazówki i pozdrawiam.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ a = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b = \log_{2} 9 }\)

[41421356]

np:
\(\displaystyle{ a=2 ^{ \sqrt{2} } \\
b= \sqrt{2} }\)

To najpierw trzeba pokazać, że `a` jest niewymierne.

Lepiej tak: "\(a=\sqrt2^{\sqrt2}, b=\sqrt2\)

Wtedy albo `a` jest wymierne albo \(a^b=2\) jest.

A tak jeszcze zapytam, skąd wiadomo, że wymierna jest jedna wartość, bądź druga?

[mol_ksiazkowy]

to działa, gdyż \(\displaystyle{ ( \sqrt{2}^{ \sqrt{2} } )^{ \sqrt{2} }= 2}\)...

[41421356]

Niestety nie rozumiem nadal w jaki sposób ta wskazówka miałaby odpowiadać na moje pytanie.

[a4karo]

Jeżeli `a` jest wymierna, to liczby. \(b, b\) są szukana parą. A jak nie, to szukana parą jest `a, b`

[Jan Kraszewski]

Przykład a4karo to znany przykład skuteczności zasady wyłączonego środka. A Twoje kłopoty biorą się zapewne stąd, że nie wiesz, która para liczb spełnia Twoje oczekiwania. Ale zauważ, że polecenie nie brzmiało "wskaż dwie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że liczba \(\displaystyle{ a^b}\) jest wymierna", tylko "uzasadnij, że istnieją dwie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że liczba \(\displaystyle{ a^b}\) jest wymierna".

JK

[a4karo]

W rzeczywistości liczba \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) jest niewymierna.
Wynika to z tw. Gelfonda-Schneidera

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_theorem

[41421356]

To twierdzenie znam, ta liczba jako pierwiastek kwadratowy ze stałej Gelfonda-Schneidera jest liczbą przestępną. Muszę zatem bardziej zgłębić się w zasadę wyłączonego środka. Przyznam ponadto, że bardzo ucząca dla mnie wymiana zdań nastąpiła. Dziękuję bardzo Wszystkim za udział w niej.

[Jan Kraszewski]

Muszę zatem bardziej zgłębić się w zasadę wyłączonego środka.

Nie wiem, czy jest dużo do zgłębiania... Zasadę wyłączonego środka (czyli \(\displaystyle{ p\lor\neg p}\)) stosujemy często i zazwyczaj odruchowo, bo to na niej opiera się logika klasyczna. To zastosowanie jest po prostu nieco mniej intuicyjne.

JK

[41421356]

Chyba za bliski jestem podejściu intuicjonistycznemu w logice