Wymierność potęgi
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Wymierność potęgi
Korzystając z faktu, iż \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną uzasadnić, że istnieją takie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\), że liczba \(\displaystyle{ a^b}\) jest liczbą wymierną.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wymierność potęgi
To najpierw trzeba pokazać, że `a` jest niewymierne.
Lepiej tak: "\(a=\sqrt2^{\sqrt2}, b=\sqrt2\)
Wtedy albo `a` jest wymierne albo \(a^b=2\) jest.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wymierność potęgi
A tak jeszcze zapytam, skąd wiadomo, że wymierna jest jedna wartość, bądź druga?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Wymierność potęgi
to działa, gdyż \(\displaystyle{ ( \sqrt{2}^{ \sqrt{2} } )^{ \sqrt{2} }= 2}\)...
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wymierność potęgi
Przykład a4karo to znany przykład skuteczności zasady wyłączonego środka. A Twoje kłopoty biorą się zapewne stąd, że nie wiesz, która para liczb spełnia Twoje oczekiwania. Ale zauważ, że polecenie nie brzmiało "wskaż dwie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że liczba \(\displaystyle{ a^b}\) jest wymierna", tylko "uzasadnij, że istnieją dwie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że liczba \(\displaystyle{ a^b}\) jest wymierna".
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wymierność potęgi
W rzeczywistości liczba \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) jest niewymierna.
Wynika to z tw. Gelfonda-Schneidera
Wynika to z tw. Gelfonda-Schneidera
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_theorem
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wymierność potęgi
To twierdzenie znam, ta liczba jako pierwiastek kwadratowy ze stałej Gelfonda-Schneidera jest liczbą przestępną. Muszę zatem bardziej zgłębić się w zasadę wyłączonego środka. Przyznam ponadto, że bardzo ucząca dla mnie wymiana zdań nastąpiła. Dziękuję bardzo Wszystkim za udział w niej.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wymierność potęgi
Nie wiem, czy jest dużo do zgłębiania... Zasadę wyłączonego środka (czyli \(\displaystyle{ p\lor\neg p}\)) stosujemy często i zazwyczaj odruchowo, bo to na niej opiera się logika klasyczna. To zastosowanie jest po prostu nieco mniej intuicyjne.
JK