Ile jest równe minimum wyrażenia \(\displaystyle{ |a_1-a_2| + |b_1-b_2|+ |c_1-c_2|}\) dla różnych trójek pitagorejskich \(\displaystyle{ (a_1, b_1, c_1)}\) i \(\displaystyle{ (a_2, b_2, c_2)}\) ?
Dodano po 10 godzinach 15 minutach 16 sekundach:
Ukryta treść:
Jako pytanie do zadania 10704 z The American Mathematical Mounthly
Zakładam, że w trójkącie pitagorejskim zachodzi: \(\displaystyle{ a<b<c}\)
1)
Zmiana parzystości tylko \(\displaystyle{ a}\) lub tylko \(\displaystyle{ b}\) zmienia parzystość \(\displaystyle{ c}\).
Jednoczesna zmiana parzystości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie zmienia parzystość \(\displaystyle{ c}\)
Wniosek: Szukane minimum będzie liczbą parzystą
2)
Szukane minimum nie może wynosić \(\displaystyle{ 0}\) gdyż ma być liczone od różnych trójek.
3)
Zakładam, że minimum to 2. Możliwe są przypadki:
a)
Niech \(\displaystyle{ a'=a+1 \wedge b'=b-1 \wedge c'=c}\) , a wtedy: \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=c^2\\ (a+1)^2+(b-1)^2=c^2 \end{cases} \Rightarrow b=a+1 }\)
co daje tę samą trójkę: \(\displaystyle{ a'=b \wedge b'=a}\)
b)
Niech \(\displaystyle{ a'=a+1 \wedge b'=b \wedge c'=c+1}\) , a wtedy: \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=c^2\\ (a+1)^2+b^2=(c+1)^2 \end{cases} \Rightarrow a=c }\)
co jest sprzeczne z założeniem \(\displaystyle{ a<c}\).
Wniosek: minimum nie wynosi 2.
4)
Zakładam, że minimum to 4. Możliwe są przypadki:
a) \(\displaystyle{ a'=a+3 \wedge b'=b-1 \wedge c'=c}\)
b) \(\displaystyle{ a'=a+3 \wedge b'=b \wedge c'=c+1}\)
Zacząłem od przypadku b): \(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=c^2\\ (a+3)^2+b^2=(c+1)^2 \end{cases} \Rightarrow c=3a+4 }\)
równanie: \(\displaystyle{ a^2+b^2=(3a+4)^2}\) przekształcam do \(\displaystyle{ b^2=16 \cdot \frac{(a+1)(a+2)}{2} }\)
Liczba trójkątna \(\displaystyle{ \frac{(a+1)(a+2)}{2} }\) będzie kwadratem liczby k gdy: \(\displaystyle{ k^2= \frac{1}{32}\left[ \left(3+2 \sqrt{2} \right)^n- \left(3-2 \sqrt{2} \right)^n\right]^2 \ \ \text{dla} \ n \in \NN_+}\)
czyli gdy \(\displaystyle{ k \in \left\{ 1; 6; 35 ; 204 ;1189;....\right\}}\)
Np: dla k\(\displaystyle{ =6}\) mam trójki (7,24,25) i (10,24,26) z których minimum wynosi 4. Znając wynik nie sprawdzałem już przypadku 4a).
PS
W wynikach z 4b) zawsze jedna z trójek nie będzie pierwotną, gdyż wszystkie boki trójkąta będą liczbami parzystymi.
Dodano po 1 dniu 53 minutach 31 sekundach:
Przypadek 4a) także daje pary trójek o minimum 4.
Pierwsze dwie gdy \(\displaystyle{ 5|a}\) to: \(\displaystyle{ (57 ,176, 185) \ , \ ( 60, 175, 185) \\
(84357, 253076, 266765) \ , \ (84360, 253075, 266765)}\)
Pierwsze dwie gdy \(\displaystyle{ 5|(a+3)}\) to: \(\displaystyle{ (2220, 6665 ,7025) \ , \ (2223, 6664, 7025)\\
(3203400, 9610205, 10130045) \ , \ (3203403, 9610204, 10130045)}\)
W przypadku 4a) zawsze jedna trójka z pary będzie miała boki podzielne przez 5.