Dzielniki liczby Fermata

[Bran]

Udowodnić, że każdy dzielnik liczby Fermata \(\displaystyle{ 2^{2^n}+1}\) jest postaci \(\displaystyle{ k2^{n+1}+1}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).

[Janusz Tracz]

Twierdzenie możesz znaleźć tu:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/2106149/divisor-of-22n-1-modulus-2n1?noredirect=1&lq=1

w skrócie chodzi o wykorzystanie wniosku z twierdzenie Lagrange w grupie \(\displaystyle{ \ZZ_p^*}\).

Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że rząd elementu \(\displaystyle{ a}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ \ZZ_p^*}\) czyli \(\displaystyle{ k|p-1}\)

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e_twierdzenie_Fermata

Pokazuje to każdy dzielnik pierwszy dzielnika liczby \(\displaystyle{ F_n}\) przystaje do \(\displaystyle{ 1}\) modulo \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) zatem i sam dzielnik przystaje do \(\displaystyle{ 1}\). Stąd teza.