Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie

[lukkaszga]

Prośna o pomoc, nie mogę rozkminić:

Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie
\(\displaystyle{
x-[ \sqrt{x} ] ^{2} =2007
}\)

[Janusz Tracz]

Rozważ sytuację, w której \(\displaystyle{ x\in\left[ n^2,(n+1)^2\right) }\). Wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{x} \in \left[ n,n+1\right) }\), więc \(\displaystyle{ \left[ \sqrt{x} \right] =n }\).

[lukkaszga]

dobrze rozumiem że wtedy mogę przyjąć że:
\(\displaystyle{
x=n ^{2} +a, a \in \NN
}\)
ale wtedy wychodzi że
\(\displaystyle{ a=2007}\), ale nadal nie bardzo mogę policzyć ile wynosi \(\displaystyle{ n}\).

[Janusz Tracz]

Odpowiednie \(\displaystyle{ n}\) wynika z założenia, że \(\displaystyle{ x\in\left[ n^2,(n+1)^2\right)}\). Czyli rozwiązania są postaci \(\displaystyle{ x=n^2+2017}\) przy czym \(\displaystyle{ n^2 \le n^2+2017 < (n+1)^2}\) czyli \(\displaystyle{ n \ge 1009}\). Ostatecznie rozwiązania to zbiór \(\displaystyle{ \left\{ n^2+2017: n \ge 1009\right\} }\)