Matematyka.pl

W pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}[x]}\) znajdź takie wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), aby pierwiastkami reszty z dzielenia \(\displaystyle{ V(x)}\) przez \(\displaystyle{ W(x)}\) były liczby \(\displaystyle{ x_1 = 1 \text{ i } x_2 = 2}\).

\(\displaystyle{
V(x) = 3x^5 + 4x^4 + ax^2 + bx + 1 \\
W(x) = 2x^3 + 3
}\)

Liczę to tak:
\(\displaystyle{
V(x) = 3x^5 + 4x^4 + ax^2 + bx + 1 = 4x^4 + ax^2+(b+3)x+1 \\
R(x) = (x-1)(x-2) = x^2-3x+2 = x^2+2x+2 \\
W(x) = 2x^3+3, W(1) = 0 \\
V(x) = W(x)Q(x)+R(x) \\
V(x)-R(x) = W(x)Q(x) \\
(4x^4 + ax^2+(b+3)x+1) - (x^2+2x+2) = W(x)Q(x) \\
4x^4+(a+4)x^4+(b+1)x+4 = W(x)Q(x) \\
}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ x = 1}\)

\(\displaystyle{
4+a+4+b+1+4 = 0 \\
a+b = 3 \\
}\)

Wydaje mi się, że wynik nie jest poprawny.

Elementarnie:

\(\displaystyle{ V(x) \equiv W(x)Q(x)+R(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)=px^2+qx+r\ \text{i } R(x)=c(x-1)(x-2)}\)

Otrzymasz układ sześciu równań pierwszego stopnia z sześcioma niewiadomymi i odpowiedź:
\(\displaystyle{ a=5\wedge b=\frac{9}{2}}\)

Pozdrawiam

JHN pisze: ↑15 lut 2020, o 12:20 Elementarnie:

\(\displaystyle{ V(x) \equiv W(x)Q(x)+R(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)=px^2+qx+r\ \text{i } R(x)=c(x-1)(x-2)}\)

Otrzymasz układ sześciu równań pierwszego stopnia z sześcioma niewiadomymi i odpowiedź:
\(\displaystyle{ a=5\wedge b=\frac{9}{2}}\)

Pozdrawiam

To jest \(\displaystyle{ \ZZ_5}\):
\(\displaystyle{ a=5=0\\
b=\frac92=2}\)
Tak?
Nadal wydaje się być źle.

Kristoffer pisze: ↑15 lut 2020, o 12:57 To jest \(\displaystyle{ \ZZ_5}\):
\(\displaystyle{ a=5=0\\
b=\frac{9}{2}=2}\)
Tak?
Nadal wydaje się być źle.

Tak!
Ale wolfram potwierdza...

Pozdrawiam

Kristoffer pisze: ↑15 lut 2020, o 10:56\(\displaystyle{ 3x^5 + 4x^4 + ax^2 + bx + 1 = 4x^4 + ax^2+(b+3)x+1}\)

Nieprawda. Skąd bierzesz tę równość?

Kristoffer pisze: ↑15 lut 2020, o 10:56\(\displaystyle{ R(x) = (x-1)(x-2)}\)

Skąd to wiesz? Bezpośrednio z założenia wynika tylko tyle, że

\(\displaystyle{ R(x) = c (x-1)(x-2)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c \in \ZZ_5}\),

takiej bowiem postaci są wszystkie wielomiany nad \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) stopnia najwyżej dwa, mające pierwiastki \(\displaystyle{ x_1 = 1, x_2 = 2}\).

Kristoffer pisze: ↑15 lut 2020, o 10:56\(\displaystyle{
4+a+4+b+1+4 = 0 \\
a+b = 3 \\
}\)

Wydaje mi się, że wynik nie jest poprawny.

Nawet zakładając poprawność poprzednich obliczeń, wykazałeś tylko to, że w każdej sytuacji spełniającej założenia zadania musi zachodzić \(\displaystyle{ a+b = 3}\). Nie ma jednak żadnej gwarancji, że wszystkie pary liczb o własności \(\displaystyle{ a+b=3}\) faktycznie owe założenia spełniają.


Proponuję zacząć od podzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ V(x)}\) z resztą, a następnie przyrównać tę resztę do wyrażenia \(\displaystyle{ c(x-1)(x-2)}\) i rozwiązać ze względu na \(\displaystyle{ a, b, c}\).


Podane wyżej odpowiedzi (choć w dziwnej formie): \(\displaystyle{ a=0, b=2}\) - są dobre.

Dasio11 pisze: ↑15 lut 2020, o 14:58

Kristoffer pisze: ↑15 lut 2020, o 10:56\(\displaystyle{ 3x^5 + 4x^4 + ax^2 + bx + 1 = 4x^4 + ax^2+(b+3)x+1}\)

Nieprawda. Skąd bierzesz tę równość?

Każda liczba do potęgi 5 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}[x]}\) jest tym samym, co ta sama liczba do potęgi 1 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}[x]}\).
Przykładowo:
\(\displaystyle{ \ZZ : 3, 9, 27, 81, 243 \\
\ZZ_5 : 3, 4, 2, 1, 3}\)

To stwierdzenie byłoby prawdziwe, gdyby dotyczyło \(\displaystyle{ \ZZ_5}\), ale w obecnej postaci jest fałszywe - chyba nie uważasz, że w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ_5[x]}\) zachodzi na przykład \(\displaystyle{ x^5 = x}\) ?

Dasio11 pisze: ↑15 lut 2020, o 15:18 To stwierdzenie byłoby prawdziwe, gdyby dotyczyło \(\displaystyle{ \ZZ_5}\), ale w obecnej postaci jest fałszywe - chyba nie uważasz, że w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ_5[x]}\) zachodzi na przykład \(\displaystyle{ x^5 = x}\) ?

Tak mi się właśnie wydaje. Dlaczego myślisz, że to nie zachodzi?

Bo z definicji dwa wielomiany \(\displaystyle{ u, v \in R[x]}\) (dla dowolnego pierścienia \(\displaystyle{ R}\)) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki przy każdej potędze iksa. Wielomiany \(\displaystyle{ u = x^5}\) i \(\displaystyle{ v = x}\) oczywiście tej własności nie mają.

Równe są natomiast odpowiadające im funkcje wielomianowe, bo zgodnie z przytoczonym przez Ciebie faktem, dla każdego \(\displaystyle{ s \in \ZZ_5}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ u(s) = s^5 = s = v(s)}\).

\(\displaystyle{ (4x^2+2x)(2x^3+3)+3(x-1)(x-2)=}\)

Wymnóż i otrzymasz...

Dzielimy (niestety ta wersja LaTeXa jest bardzo uboga jeżeli chodzi o tabelki)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{rrrrrcl}
4x^2 & +2x & & & & & \\ \hline
3x^5 & +4x^4 & +ax^2 & +bx & +1 & : & 2x^3+3 \\
3x^5 & & +2x^2 & & & & \\ \hline
& 4x^4 & +(a+3)x^2 & +bx & +1 & & \\
& 4x^4 & & +x & & & \\ \hline
& & (a+3)x^2 &+(b+4)x & +1 & &
\end{tabular}}\)

Resztą jest \((a+3)x^2+(b+4)x+1\). Wstawiając tu `x=1` i `x=2` otrzymujemy `a=0` i `b=2`. Resztą jest wielomian \(3x^2+x+1=3(x+4)(x+3)\), a szukane dzielenie to
\(\displaystyle{ 3x^5+4x^4+2x+1=(4x^2+2x)(2x^3+3)+3(x+4)(x+3)}\)