1)
\(\displaystyle{ 3≡k^2\pmod{k}}\)
2)
\(\displaystyle{ 5≡k\pmod{k^2}}\)
3)
\(\displaystyle{ k^4≡1\pmod{5}}\)
Proszę o wyjaśnienie krok po kroku chociaż jednego zadania bo muszę załapać o co w tym chodzi
znajdź wszystkie liczby całkowite k
-
MilkAndSugar
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 5 lut 2020, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 16
- Podziękował: 1 raz
znajdź wszystkie liczby całkowite k
Znajdź wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ k}\) takie, że:
1)
\(\displaystyle{ 3≡k^2\pmod{k}}\)
2)
\(\displaystyle{ 5≡k\pmod{k^2}}\)
3)
\(\displaystyle{ k^4≡1\pmod{5}}\)
Proszę o wyjaśnienie krok po kroku chociaż jednego zadania bo muszę załapać o co w tym chodzi
1)
\(\displaystyle{ 3≡k^2\pmod{k}}\)
2)
\(\displaystyle{ 5≡k\pmod{k^2}}\)
3)
\(\displaystyle{ k^4≡1\pmod{5}}\)
Proszę o wyjaśnienie krok po kroku chociaż jednego zadania bo muszę załapać o co w tym chodzi
Ostatnio zmieniony 6 lut 2020, o 00:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: znajdź wszystkie liczby całkowite k
Taki zapis \(\displaystyle{ 3≡k^2\pmod{k}}\) oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{3-k^2}{k}\in\ZZ }\), zatem \(\displaystyle{ \frac{3}{k}-k\in\ZZ }\). Więc \(\displaystyle{ k=1,3}\) ujemne odpadają bo rozpatrujemy \(\displaystyle{ k \ge 1}\).
Podobnie to \(\displaystyle{ 5≡k\pmod{k^2}}\), oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{5-k}{k^2}\in\ZZ }\) odrzućmy od razu wszystkie \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ \left| \frac{5-k}{k^2}\right| \in \left( -1,1\right) \setminus \left\{ 0\right\} }\) do sprawdzenia zostanie tylko kilka \(\displaystyle{ k}\).
A jeśli chodzi o \(\displaystyle{ k^4≡1\pmod{5} }\) to proponuję spostrzeżenie. Jeśli \(\displaystyle{ k=5n}\) to kongruencja nie zajdzie a jeśli \(\displaystyle{ k=5n+r}\) gdzie \(\displaystyle{ r\in\left\{ 1,2,3,4\right\} }\) to:
\(\displaystyle{ k^4≡(5n+r)^4≡r^4≡1\pmod{5} }\)
Tyle, że dla dowolnego \(\displaystyle{ r\in\left\{ 1,2,3,4\right\} }\) jest to prawda. Zatem \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną liczbą całkowitą która nie jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 5}\).
Podobnie to \(\displaystyle{ 5≡k\pmod{k^2}}\), oznacza to, że \(\displaystyle{ \frac{5-k}{k^2}\in\ZZ }\) odrzućmy od razu wszystkie \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ \left| \frac{5-k}{k^2}\right| \in \left( -1,1\right) \setminus \left\{ 0\right\} }\) do sprawdzenia zostanie tylko kilka \(\displaystyle{ k}\).
A jeśli chodzi o \(\displaystyle{ k^4≡1\pmod{5} }\) to proponuję spostrzeżenie. Jeśli \(\displaystyle{ k=5n}\) to kongruencja nie zajdzie a jeśli \(\displaystyle{ k=5n+r}\) gdzie \(\displaystyle{ r\in\left\{ 1,2,3,4\right\} }\) to:
\(\displaystyle{ k^4≡(5n+r)^4≡r^4≡1\pmod{5} }\)
Tyle, że dla dowolnego \(\displaystyle{ r\in\left\{ 1,2,3,4\right\} }\) jest to prawda. Zatem \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną liczbą całkowitą która nie jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 5}\).