W pierścieniu Z5[x] znajdź wartości parametrów A, B

[Kristoffer]

W pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}[x]}\) znajdź wartości parametrów A, B, dla których wielomian \(\displaystyle{ V(x)=Ax^{300}+Bx^{14}+2 }\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{2}+2x+2}\).

[Premislav]

W \(\displaystyle{ \ZZ_{5}[x]}\) mamy taki oto rozkład:
\(\displaystyle{ x^{2}+2x+2=(x-1)(x-2)}\) (no powiedzmy )
a twierdzenie Bezouta dobrze działa ogólnie w pierścieniach wielomianów, tak że do dzieła. Wystarczy sprawdzić, dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ A, B}\) mamy jednocześnie
\(\displaystyle{ V(1)=0, \ V(2)=0}\).

[Kristoffer]

Wydaje mi się, że wyglądałoby to tak:
\(\displaystyle{
V(x) = Ax^{300}+Bx^{14}+2 \\
V(1)=0, V(2)=0 \\
V(1) = A+B+2 = 0 \Rightarrow A=-B-2\\
V(2) = A \cdot 2^{300}+B \cdot 2^{14} + 2 = 0 \\
(-B-2) \cdot 2^{300}+B \cdot 2^{14} + 2 = 0 \\
-(2^{301})-B \cdot 2^{300}+B \cdot 2^{14} + 2 = 0 \\
B(2^{14} - 2^{300}) = -2+2^{301} \\
B(4-1) = 3+2 = 0 \\
B = 0 \\
A = -2 = 3 \\
}\)

\(\displaystyle{ V(x) = 3x^{300}+2 }\)

[Premislav]

Wynik jest dobry, wątpliwości budzi przejście od
\(\displaystyle{ B\left(2^{14}-2^{300}\right)=-2+2^{301}}\) do
\(\displaystyle{ B(4-2)=3+2}\), wszak \(\displaystyle{ 2^{300}\equiv 1\pmod{5}}\), więc w \(\displaystyle{ \ZZ_{5}}\) mamy \(\displaystyle{ 2^{300}=1}\), ale jak widać akurat w tym przypadku nie doprowadziło to do błędnej odpowiedzi.

[Kristoffer]

Gdyby ktoś miał problem z tym zadaniem i nie wiedział, skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ 2^{300} \text{ w } \mathbb{Z}_{5} \text{ to }1}\):
P - potęga
L - liczba 2 do potęgi P
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5} \text{ - liczba L w } \mathbb{Z}_{5}}\)

\(\displaystyle{
\begin{array}{ | l | l | l | l | l | l | l | l | l | l | }
\hline
Potęga & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
Liczba & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 \\ \hline
ℤ₅ & 2 & 4 & 3 & 1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 2 \\ \hline
\end{array}
}\)

Powtarza się: 2, 4, 3, 1
2 dla P % 4 == 1
4 dla P % 4 == 2
3 dla P % 4 == 3
1 dla P % 4 == 0