Kongruencje (modulo) na potęgach

[Flamenco]

Mam kongruencje:
\(\displaystyle{ 19^{2018} \equiv 2^{2018} \pmod{17}}\)
oraz
\(\displaystyle{ 21^{19} \equiv 21 \pmod{19}}\)
z czego pierwszy jest fałszem a drugi prawdą

Czy zna ktoś sposób na tego typu zadania? Wiem na czym polega kongruencja. Na początku myślałem, że drugie jest prawdziwe, bo podstawa potęgi jest taka sama, ale nie ma to sensu. Poza tym dla modulo innego niż \(\displaystyle{ 19}\) kongruencja już nie zachodzi. Nie widze tu tez możliwości wykorzystania żadnego twierdzenia Fermata czy Wilsona.

[Janusz Tracz]

Nie widze tu tez możliwości wykorzystania żadnego twierdzenia Fermata

Z tw Fermata mamy \(\displaystyle{ 21^{18}\equiv 1 \mod 19}\) zatem druga kongruencja jest prawdziwa.

[Flamenco]

Nie widze tu tez możliwości wykorzystania żadnego twierdzenia Fermata

Z tw Fermata mamy \(\displaystyle{ 21^{18}\equiv 1 \mod 19}\) zatem druga kongruencja jest prawdziwa.

Rzeczywiście, nie wpadłem na to, dziękuję!

[Janusz Tracz]

A jeśli chodzi o pierwszą to:

\(\displaystyle{ 19^{n}\equiv (17+2)^n \equiv 17 \cdot \left( ...\right)+2^n\equiv 2^n \mod 17 }\)

Dodano po 2 minutach 38 sekundach:
Tw. Wilsona relatywnie rzadko się się wykorzystuje w tych zadania (no chyba, że jesteś w dziele kongruencje z Wilsonem...) więc to trochę subiektywna opinia ale na pewno obiektywnie stwierdzić można, że warto znać dwumian Newtona. Dowód jak wyżej.