Sumy cyfr

[mol_ksiazkowy]

Liczba poważna to taka dla której \(\displaystyle{ S(n)= S(n^2)}\). Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ S(n)}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą poważną.

Uwagi: \(\displaystyle{ S(n)}\) to suma wszystkich cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\)
np. \(\displaystyle{ n=99}\) jest poważna

[Janusz Tracz]

hipoteza\spostrzeżenie:    

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{P}=\left\{ n\in\NN: S(n)=S\left( n^2\right) \right\} }\), czyli jest to zbiór liczb poważnych. Szukamy obrazu funkcji \(\displaystyle{ S\upharpoonright \mathbb{P}}\) (oznaczyłem \(\displaystyle{ S(\mathbb{P})}\)\(\displaystyle{ }\)) zauważyłem, że:

\(\displaystyle{ \left\{ 1, 18,19, 27,28,36,37,45\right\} \subset S(\mathbb{P}) }\)

Widać tu pewną prawidłowość. Oczywiście \(\displaystyle{ 1}\) się wyłamuje ze schematu ale akurat fakt, że \(\displaystyle{ 1\in S(\mathbb{P})}\) jest oczywisty. Podejrzewam, że:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wypisane liczby \(\displaystyle{ \left\{ 1, 18,19, 27,28,36,37,45\right\}}\) są jedynymi liczbami mniejszymi od \(\displaystyle{ 100}\) które należą do \(\displaystyle{ S(\mathbb{P})}\). Podejrzenia opieram o wykres \(\displaystyle{ S(n)}\) dla liczb poważnych mniejszych od \(\displaystyle{ 30000}\) . Z wykresu nie wynika, że \(\displaystyle{ 45\in S(\mathbb{P})}\) ale można osobno sprawdzić, że \(\displaystyle{ S(99999)=S(99999^2)=45}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wydaje mi się, że ciekamy pytaniem jest pytanie o to czy jakieś liczby trzycyfrowe są zboże \(\displaystyle{ S(\mathbb{P})}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciekawe może być też rozważanie samego zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Uogólniłem poszukiwania na liczby \(\displaystyle{ n\in\NN}\) dla których \(\displaystyle{ S(n)=S\left( n^2\right)=S\left( n^3\right) }\) ale tych okazuje się być znacznie mniej (co akurat nie dziwi). W ramach ciekawostki, najmniejszą nietrywialną \(\displaystyle{ 1,10,100,...}\) liczbą która spełnia powyższą równość (może będziemy je nazywać \(\displaystyle{ 3}\) poważnymi nawiązując do potęgi) jest \(\displaystyle{ 468}\). W ogóle liczb \(\displaystyle{ 3}\) poważnych poniżej \(\displaystyle{ 10000}\) jest tylko kilka \(\displaystyle{ \left\{ 4\red{68},\blue{58}5,4\red{68}0,\blue{58}50,\blue{58}\red{68}\right\} }\) a ich "wygląd" też wskazuje, że nie jest to chaos ostateczny.

[Gosda]

Wszystkie elementy zbioru, którego szukamy, są postaci \(\displaystyle{ 9k}\) lub \(\displaystyle{ 9k + 1}\). Zbiór jest nieograniczony, bo liczby złożone z samych dziewiątek są poważne. Patrz też .

[Brombal]

Wszystkie elementy zbioru, którego szukamy, są postaci \(\displaystyle{ 9k}\) lub \(\displaystyle{ 9k + 1}\). Zbiór jest nieograniczony, bo liczby złożone z samych dziewiątek są poważne. Patrz też .

Uogólnił bym nieco
Dla dowolnego systemu liczbowego (p) wszystkie elementy zbioru, którego szukamy są w postaci \(\displaystyle{ (p-1)k}\) lub \(\displaystyle{ (p-1)k+1}\) lub są równe \(\displaystyle{ 1}\).
Dla dowolnego systemu liczbowego liczby złożone z samych symboli o wartości \(\displaystyle{ (p-1)}\) są poważne. Zbiory te są nieograniczone.
Np. liczba \(\displaystyle{ 777 _{(8)} =511 _{(10)} }\)jest bardzo poważna.
Pytanie czy istnieje liczba \(\displaystyle{ n _{(p)} \neq 1}\) poważna dla każdego \(\displaystyle{ p}\)?

Dodano po 41 minutach 52 sekundach:
Tak kombinuje i zauważyłem ciekawostkę.
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ n=a _{1} \cdot a _{2} \cdot a _{k} }\) to liczba jest bardzo często poważna co najmniej dla systemu jednego liczbowego \(\displaystyle{ (p=a _{i} \pm -1)}\)
Przykładowo
\(\displaystyle{ n=143=11*13}\) - jest poważna dla systemu liczbowego (12).
\(\displaystyle{ n=221=13*17}\) - jest poważna dla systemu liczbowego (12).
\(\displaystyle{ n=323=17*19}\) - jest poważna dla systemu liczbowego (18).
\(\displaystyle{ n=779=19*41}\) - jest poważna dla systemu liczbowego (20).
I tak bardzo często

Dodano po 37 minutach 58 sekundach:
A tak zauważyłem jeszcze
dla liczby dającej się zapisać w postaci \(\displaystyle{ n=n _{1} \cdot (n _{1} +2)}\),
liczba \(\displaystyle{ n}\) jest poważna dla systemu liczbowego \(\displaystyle{ p=n _{1} +1}\)

Dodano po 2 dniach 8 godzinach 18 minutach 20 sekundach:
Dla każdego \(\displaystyle{ n=n _{1} (n _{1} +2)}\)
\(\displaystyle{ S _{(n _{1}+1) } (n)=S _{(n _{1}+1) } (n ^{2} )}\)
Czasami pomnożenie \(\displaystyle{ n}\) przez dodatkową liczbę \(\displaystyle{ k}\) zachowuje tą właściwość.

[Dasio11]

Wszystkie elementy zbioru, którego szukamy, są postaci \(\displaystyle{ 9k}\) lub \(\displaystyle{ 9k + 1}\). Zbiór jest nieograniczony, bo liczby złożone z samych dziewiątek są poważne.

A dokładniej:

- liczby postaci \(\displaystyle{ n = 10^k-1}\) są poważne i \(\displaystyle{ S(n) = 9k}\),
- liczby postaci \(\displaystyle{ n = 2 \cdot 10^k - 1}\) są poważne i \(\displaystyle{ S(n) = 9k+1}\),

czyli \(\displaystyle{ S[ \NN ] = \{ n \in \NN : n \bmod{9} \in \{ 0, 1 \} \}}\).

A tak zauważyłem jeszcze
dla liczby dającej się zapisać w postaci \(\displaystyle{ n=n _{1} \cdot (n _{1} +2)}\),
liczba \(\displaystyle{ n}\) jest poważna dla systemu liczbowego \(\displaystyle{ p=n _{1} +1}\)

To jest dość oczywista konsekwencja Twojej poprzedniej obserwacji, bo liczba \(\displaystyle{ n_1 \cdot (n_1+2) = p^2-1}\) zapisana w systemie o podstawie \(\displaystyle{ p}\) składa się z dwóch cyfr \(\displaystyle{ p-1}\).

[Brombal]

...
To jest dość oczywista konsekwencja Twojej poprzedniej obserwacji, bo liczba \(\displaystyle{ n_1 \cdot (n_1+2) = p^2-1}\) zapisana w systemie o podstawie \(\displaystyle{ p}\) składa się z dwóch cyfr \(\displaystyle{ p-1}\).

Dziękuję za pokazanie oczywistości. Inaczej nadal bym rozpisywał i rozpisywał...
Jedyny zysk z tego - wykonałem arkusz w Excelu do rozwiązywania układów \(\displaystyle{ n}\) równań z \(\displaystyle{ n}\) niewiadomymi (tak gdzieś do 50).

[Brombal]

Można nieco odmiennie zapisać pewna własciwość
\(\displaystyle{ S _{ (\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+1) } (n)=S _{( \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+1) } (n ^{2} )}\)

Z badań statystycznych wynika być może ciekawa hipoteza

Dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p >5}\) i dla \(\displaystyle{ k \in\left\langle \left\lfloor \frac{p}{2} \right\rfloor+2,p-1\right\rangle }\)
\(\displaystyle{ S _{k}(p) \neq S _{k} (p ^{2} )}\)

[mol_ksiazkowy]

Istnieją poważne liczby pierwsze (\(\displaystyle{ p=19}\), tu także \(\displaystyle{ p^2}\) jest poważna).

Dodano po 3 minutach 30 sekundach:
liczby \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ \frac{S(n^2)}{S(n)} }\) jest liczba całkowitą prawdopodobnie też mają swoją nazwę...