Rozwinięcie dziesiętne okresowe

[+pomocy+]

\(\displaystyle{ a=0,(5)}\) \(\displaystyle{ b= \frac{7}{11} }\) czy rozwinięcie dziesiętne liczby \(\displaystyle{ a^{7} + b ^{7} }\) jest okresowe? Odpowiedź uzasadnij.

[Premislav]

\(\displaystyle{ a}\) jest liczbą wymierną, nietrudno udowodnić, że \(\displaystyle{ a=\frac{5}{9}}\). Siódma potęga liczby wymiernej jest wymierna i suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna, a więc pozostaje zastosowanie wiedzy na temat rozwinięcia dziesiętnego liczb wymiernych.

[+pomocy+]

Rozumiem, że chodzi o to: "Jeśli mianownik ułamka można rozłożyć wyłącznie czynniki zawierające 2 ilub 5 to ułamek będzie miał rozwinięcie dziesiętne skończone.
Jeśli w rozkładzie na czynniki pierwsze znajdą się inne liczby pierwsze, to ułamek będzie miał rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe."?

[Premislav]

W sumie ja chciałem nieco zatrollować, że każde rozwinięcie, które nie jest nieskończone nieokresowe (a takie są właśnie wykluczone z uwagi na fakt, że mamy tu liczbę wymierną) możemy przerobić na nieskończone okresowe, np. \(\displaystyle{ 0,5=0,4(9)}\), ale w sumie bardziej elegancko będzie skorzystać z tego, co piszesz.