Znajdź wszystkie trójki

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Loplopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 21 paź 2019, o 18:53
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Znajdź wszystkie trójki

Post autor: Loplopa »

Znajdź wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) liczb naturalnych, spełniających równanie

\(\displaystyle{ \frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)
Pomyślałam, że \(\displaystyle{ x=2z}\) i \(\displaystyle{ y=2z}\), ale nie jestem czy to wszystkie opcje, a nawet jeśli to wszystkie to nie wiem jak to udowodnić.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu i przedstawienie waszego toku rozumowania podczas takiego typu zadań. Z góry dzięki za pomoc
Ostatnio zmieniony 17 sty 2020, o 19:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w pojedynczych tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Znajdź wszystkie trójki

Post autor: Gosda »

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Optic_equation


\(\displaystyle{ x = km(m+n)}\), \(\displaystyle{ y = kn(m+n)}\), \(\displaystyle{ z = kmn}\) dla względnie pierwszych \(\displaystyle{ m, n}\)
Loplopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 21 paź 2019, o 18:53
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Re: Znajdź wszystkie trójki

Post autor: Loplopa »

Przejrzałam wpis na wiki, ale nadal nie rozumiem dlaczego właśnie takie jest rozwiązanie, i skąd ono wynika.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Znajdź wszystkie trójki

Post autor: Premislav »

Nie czytałem wpisu na wiki, gdyż jestem zbyt leniwy, ale mogę napisać, jak bym to rozwiązywał.

Równoważnie mamy
\(\displaystyle{ z=\frac{xy}{x+y}}\),
należy więc zastanowić się, dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y}\) zachodzi \(\displaystyle{ (x+y)|xy}\).
Zwróćmy uwagę, że oczywiście \(\displaystyle{ (x+y)|x(x+y), \ (x+y)|y(x+y)}\), więc jeśli \(\displaystyle{ (x+y)|xy}\), to także
\(\displaystyle{ (x+y)|x^{2}, \ (x+y)|y^{2}}\).
Ta pierwsza podzielność oznacza, że dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\) jest \(\displaystyle{ x^{2}-k(x+y)=0}\), zaś ta druga sprowadza się do tego, że dla pewnego \(\displaystyle{ m\in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ y^{2}-m(x+y)=0}\).
Odejmujemy te równości stronami (przy czym oczywiście \(\displaystyle{ x,y\in \NN^{+}}\), patrz pierwotna forma równania, stąd zaś \(\displaystyle{ x>k}\))
i mamy \(\displaystyle{ (x+y)(x-y-k+m)=0\\y=x-k+m}\)
Podstawiamy to do pierwszego z równań i otrzymujemy
\(\displaystyle{ x^{2}-k(2x-k+m)=0\\(x-k)^{2}=km \\x=k+\sqrt{km}, \ y=m+\sqrt{km}}\)
przy czym \(\displaystyle{ km}\) musi być kwadratem liczby naturalnej. Niech teraz \(\displaystyle{ d=\NWD(k,m)}\), wówczas dla takich \(\displaystyle{ p,q\in \NN^{+}}\), że \(\displaystyle{ \NWD(p,q)=1, \ k=pd, \ m=qd}\) dostajemy
\(\displaystyle{ x=d\left(p+\sqrt{pq}\right), \ y=d\left(q+\sqrt{pq}\right)}\),
ale jeśli \(\displaystyle{ \NWD(p,q)=1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{pq}}\) wciąż ma być naturalne, to zarówno \(\displaystyle{ p}\), jak i \(\displaystyle{ q}\) są kwadratami liczb naturalnych, \(\displaystyle{ p=e^{2}, \ q=f^{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ \NWD(e,f)=1}\), a wtenczas
\(\displaystyle{ x=d\left(e^{2}+ef\right), \ y=d\left(f^{2}+ef\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \NWD(e,f)=1}\).
To jest pewien warunek konieczny całkowitości \(\displaystyle{ \frac{xy}{x+y}}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in \NN^{+}}\), a bezpośrednio podstawiając, widzimy, że jest on warunkiem dostatecznym, wówczas bowiem
\(\displaystyle{ \frac{xy}{x+y}=\frac{d^{2}\left(e^{2}+ef\right)\left(f^{2}+ef\right)}{d\left(e^{2}+ef\right)+d\left(f^{2}+ef\right)}=\frac{d^{2}ef(e+f)^{2}}{d(e+f)^{2}}=def}\)
i ostatecznie mamy
\(\displaystyle{ x=d\left(e^{2}+ef\right), \ y=d\left(f^{2}+ef\right), \ z=def, \ \NWD(e,f)=1, \ e,f\in\NN^{+}}\).
Loplopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 21 paź 2019, o 18:53
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Re: Znajdź wszystkie trójki

Post autor: Loplopa »

Dzięki za pomoc i dokładne objaśnienie
ODPOWIEDZ