Przesunięcia iloczynów

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ p_1 < ... < p_n}\) będzie ciągiem liczb pierwszych. Udowodnić, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\) taka, że \(\displaystyle{ k+ p_1...p_j}\) i \(\displaystyle{ p_1...p_n}\) są względnie pierwsze dla \(\displaystyle{ j=1, ..., n}\).

[Bran]

Zawsze można dobrać takie \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ k + p_1 \ldots p_j = p_1 \ldots p_n + 1}\). To raczej oczywiste, chyba, że jak zwykle czegoś nie widzę.

Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze. Obydwa nie są wspólnie podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), bo gdy jedno jest, to drugie po podzieleniu musi mieć resztę \(\displaystyle{ 1}\). Analogicznie sprawa się ma z każdym większym potencjalnym dzielnikiem, więc liczby te muszą być względnie pierwsze.

Zatem zawsze istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ k + p_1 \ldots p_j}\) i \(\displaystyle{ p_1 \ldots p_n}\) są względine pierwsze dla dowolnego \(\displaystyle{ j}\) t.ż. \(\displaystyle{ 1 \le j \le n}\).

[Jan Kraszewski]

Zawsze można dobrać takie \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ k + p_1 \ldots p_j = p_1 \ldots p_n + 1}\). To raczej oczywiste, chyba, że jak zwykle czegoś nie widzę.

Myślę, że pytającemu chodziło o jedno wspólne \(\displaystyle{ k}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ j}\), a nie o dobieranie dla każdego \(\displaystyle{ j}\) innego \(\displaystyle{ k}\).

JK

[arek1357]

żeby było czytelniej pokażę swoją koncepcję dla konkretnych liczb o co mi chodzi , np:

\(\displaystyle{ p_{1}=3, p_{2}=5 , p_{3}=7 }\)

mamy udowodnić, że istnieje takie k, że:

\(\displaystyle{ (3+k,105)=1 , (3 \cdot 5+k,105)=1 , (3 \cdot 5 \cdot 7+k,105)=1 , k \neq 0}\)

Wystarczy szukać wśród mniejszych od 105...

Teraz zauważmy , że liczb względnie pierwszych z 105 będzie:

\(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 6=48}\)

Teraz określmy zmienną losową \(\displaystyle{ X_{k}}\)

W taki sposób:

\(\displaystyle{ X_{k}=1 \Leftrightarrow (3+k,105)=1 , (3 \cdot 5+k,105)=1 , (3 \cdot 5 \cdot 7+k,105)=1}\)

\(\displaystyle{ X_{k}=0}\) - w przeciwnych przypadkach...

Obliczmy sobie:

\(\displaystyle{ P(X_{k}=1)= \frac{48}{105} \cdot \frac{48}{105} \cdot \frac{48}{105} }\)

Teraz obliczmy wartość oczekiwaną zmiennej:

\(\displaystyle{ E( X_{k})= \frac{48^3}{105^3} }\)

a teraz zsumujmy po wszystkich k:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{104} E( X_{k})= \frac{48^3}{105^3} \cdot 104 \approx 9,93 \approx 10}\)

Policzyłem dla kilku wartości wychodzą wyniki ponad jeden , ale wychodzą też wartości oczekiwane ponad połowę , co i tak ponieważ wartość
oczekiwana jest liczbą naturalną powinno być jeden...

Taki jest mój pomysł na to zadanie , w ten sposób łatwo uogólniać dla większej ilości liczb pierwszych...

k dodajemy modularnie , modulo .: \(\displaystyle{ p_{1} p_{2}...p_{n} }\)