Kwadrat liczby całkowitej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Jkbk1467
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 8 wrz 2018, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 9 razy

Kwadrat liczby całkowitej

Post autor: Jkbk1467 »

Witam znalazłem w zbiorze zadań takie zadanie. Liczby całkowite dodatnie x, y, z spełniają warunki
\(\displaystyle{ NWD(x,y,z)=1}\) oraz \(\displaystyle{ y ^{2} =xz}\)
Wykaż, że liczba
\(\displaystyle{ x+2y+c}\)
jest kwadratem liczby całkowitej

Czy mógłbym prosić o pomoc w jego rozwiązaniu?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej

Post autor: mol_ksiazkowy »

wsk. \(\displaystyle{ x+2y+z = (\sqrt{x} + \sqrt{z} )^2 }\)
Jkbk1467
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 8 wrz 2018, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 9 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej

Post autor: Jkbk1467 »

A skąd wiemy że \(\displaystyle{ ( \sqrt{x}+ \sqrt{z})}\) jest liczbą całkowitą?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej

Post autor: mol_ksiazkowy »

\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\) muszą być względnie pierwsze (co wynika z założeń)...
Jkbk1467
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 8 wrz 2018, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 9 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej

Post autor: Jkbk1467 »

Przepraszam, ale chyba wciąż nie rozumiem
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej

Post autor: mol_ksiazkowy »

\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) muszą być kwadratami liczb całkowitych gdyż są względnie pierwsze i ich iloczyn jest kwadratem
Jkbk1467
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 8 wrz 2018, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 9 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej

Post autor: Jkbk1467 »

Chyba już rozumiem, dziękuję bardzo za pomoc!
ODPOWIEDZ