Przesunięta potęga

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^n+1}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^n}\) o ile \(\displaystyle{ n>1}\).

Ukryta treść:    

Czy można uogólnić na \(\displaystyle{ (m+1)^n +1}\) i \(\displaystyle{ m^n}\) ?

[arek1357]

\(\displaystyle{ 3^{2n}+1=\left( 3^2\right)^n+1=9^n+1=1^n+1=2 (mod 8) }\) - dla n parzystych

\(\displaystyle{ 3^{2n+1}+1=\left( 3^2\right)^n \cdot 3+1=9^n \cdot 3+1=3 \cdot 1^n+1=4 (mod 8) }\) - dla n nieparzystych

Znaczy, że najwyższa potęga dwójki , która dzieli.: \(\displaystyle{ 3^n+1}\) , jest druga

znaczy że: \(\displaystyle{ 2^n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 3^n+1}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\)

Nad drugim przypadkiem jeszcze nie myślałem...ale może i będzie podobnie...

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ m}\) ma dzielnik nieparzysty \(\displaystyle{ r}\) większy niż \(\displaystyle{ 1}\), to sprawa z uogólnieniem jest oczywista, wszak
\(\displaystyle{ (m+1)^{n}-1\equiv 0\pmod{r}}\), a więc \(\displaystyle{ (m+1)^{n}+1\equiv 2\pmod{r}}\), w szczególności \(\displaystyle{ r\nmid(m+1)^{n}+1}\), tymczasem \(\displaystyle{ r^{n}|m^{n}}\), tym bardziej \(\displaystyle{ r|m^{n}}\).
Niech więc \(\displaystyle{ m=2^{k}, \ k\in \NN^{+}, \ k>1}\), wówczas \(\displaystyle{ (m+1)^{n}+1\equiv 2\pmod{4}}\), tymczasem \(\displaystyle{ m^{n}\equiv 0\pmod{4}}\), więc \(\displaystyle{ m^{n}\nmid (m+1)^{n}+1}\).