Liczby pierwsze

[Dbzdur]

Niech \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3...}\), będzie monotoniczną numeracją wszystkich liczb pierwszych.
Czy prawdziwe jest następujące zdanie:
dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) liczba \(\displaystyle{ p_1 + p_2 +...+ p_n + 1}\) jest liczbą pierwszą?

[a4karo]

To oczywiście nie może być prawdą. Co druga z nich jest parzysta.

Inna sprawa, że przed zadaniem pytania warto się choć chwilę zastanowić, czy jest ono sensowne

[Jan Kraszewski]

Albo zweryfikować tę hipotezę dla małych liczb naturalnych...

JK

[Dbzdur]

Czy prawdziwe jest następujące zdanie:
dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) liczba \(\displaystyle{ p_1 + p_2 +...+ p_n + 1}\) jest liczbą pierwszą?

Przepraszam.
Źle przepisałem zadanie, zamiast \(\displaystyle{ +}\) powinno być mnożenie.
tzn. \(\displaystyle{ p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1}\)

[Psiaczek]

Źle przepisałem zadanie, zamiast \(\displaystyle{ +}\) powinno być mnożenie.
tzn. \(\displaystyle{ p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1}\)

na przykład:

\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13+1=30031=59 \cdot 509}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17+1=510511=19 \cdot 97 \cdot 277}\)

[Gosda]

Nie wiadomo nawet, czy liczb pierwszych w tym ciągu jest nieskończenie wiele, patrz

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid_number

[Bran]

Nie wiadomo nawet, czy liczb pierwszych w tym ciągu jest nieskończenie wiele, patrz

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid_number

Ale czy powołując się na podstawowe twierdzenie arytmetyki liczba złożona składa się z iloczynu przynajmniej dwóch liczb pierwszych? Dlatego przy założeniu, że liczba \(\displaystyle{ p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots p_n + 1}\) jest złożona oznacza, że dzieli się przynajmniej przez dwie liczby pierwsze. A to jest niemożliwe ponieważ jakiej liczby pierwszej nie weźmiemy, to zostanie nam reszta \(\displaystyle{ 1}\), zatem każda taka liczba jest pierwsza.
Nie generuje to wszystkich liczb pierwszych, ale wiemy, że ten ciąg nie zawiera liczby złożonej.

Czy się mylę?

[a4karo]

Mylisz się. Twoje rozumowanie pokazuje tylko, że nie dzieli sie przez żadną z liczb `p_i`. Ale przecież mogą (i są) liczby pierwsze większe od nich.

NB: właśnie tak pokazuje się, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele

[Bran]

Mylisz się. Twoje rozumowanie pokazuje tylko, że nie dzieli sie przez żadną z liczb `p_i`. Ale przecież mogą (i są) liczby pierwsze większe od nich.

Oczywiście, że są, ale raczej nie są w rozkładzie tej liczby (skoro są większe niż ona).

[Jan Kraszewski]

Oczywiście, że są, ale raczej nie są w rozkładzie tej liczby (skoro są większe niż ona).

A niby dlaczego mają być większe? Najwyraźniej mylisz ze sobą dwa stwierdzenia: "Liczba \(\displaystyle{ p=p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1}\) nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1 , p_2 , ... , p_n }\)" (które jest prawdziwe) ze stwierdzeniem "Liczba \(\displaystyle{ p=p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1}\) nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych mniejszych od \(\displaystyle{ p}\) (które może być fałszywe).

Nie generuje to wszystkich liczb pierwszych, ale wiemy, że ten ciąg nie zawiera liczby złożonej.

W obliczu podanych kilka postów wyżej kontrprzykładów to odważne stwierdzenie...

JK

[Bran]

Racja!
Mój błąd. Dziękuję.