Liczby pierwsze
Liczby pierwsze
Niech \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3...}\), będzie monotoniczną numeracją wszystkich liczb pierwszych.
Czy prawdziwe jest następujące zdanie:
dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) liczba \(\displaystyle{ p_1 + p_2 +...+ p_n + 1}\) jest liczbą pierwszą?
Czy prawdziwe jest następujące zdanie:
dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) liczba \(\displaystyle{ p_1 + p_2 +...+ p_n + 1}\) jest liczbą pierwszą?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Liczby pierwsze
To oczywiście nie może być prawdą. Co druga z nich jest parzysta.
Inna sprawa, że przed zadaniem pytania warto się choć chwilę zastanowić, czy jest ono sensowne
Inna sprawa, że przed zadaniem pytania warto się choć chwilę zastanowić, czy jest ono sensowne
-
- Administrator
- Posty: 34277
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Liczby pierwsze
Przepraszam.
Źle przepisałem zadanie, zamiast \(\displaystyle{ +}\) powinno być mnożenie.
tzn. \(\displaystyle{ p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1}\)
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Liczby pierwsze
na przykład:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13+1=30031=59 \cdot 509}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17+1=510511=19 \cdot 97 \cdot 277}\)
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Liczby pierwsze
Nie wiadomo nawet, czy liczb pierwszych w tym ciągu jest nieskończenie wiele, patrz
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid_number
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Liczby pierwsze
Ale czy powołując się na podstawowe twierdzenie arytmetyki liczba złożona składa się z iloczynu przynajmniej dwóch liczb pierwszych? Dlatego przy założeniu, że liczba \(\displaystyle{ p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots p_n + 1}\) jest złożona oznacza, że dzieli się przynajmniej przez dwie liczby pierwsze. A to jest niemożliwe ponieważ jakiej liczby pierwszej nie weźmiemy, to zostanie nam reszta \(\displaystyle{ 1}\), zatem każda taka liczba jest pierwsza.Gosda pisze: ↑8 gru 2019, o 10:56 Nie wiadomo nawet, czy liczb pierwszych w tym ciągu jest nieskończenie wiele, patrzKod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid_number
Nie generuje to wszystkich liczb pierwszych, ale wiemy, że ten ciąg nie zawiera liczby złożonej.
Czy się mylę?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Liczby pierwsze
Mylisz się. Twoje rozumowanie pokazuje tylko, że nie dzieli sie przez żadną z liczb `p_i`. Ale przecież mogą (i są) liczby pierwsze większe od nich.
NB: właśnie tak pokazuje się, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
NB: właśnie tak pokazuje się, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Liczby pierwsze
Oczywiście, że są, ale raczej nie są w rozkładzie tej liczby (skoro są większe niż ona).
-
- Administrator
- Posty: 34277
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Liczby pierwsze
A niby dlaczego mają być większe? Najwyraźniej mylisz ze sobą dwa stwierdzenia: "Liczba \(\displaystyle{ p=p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1}\) nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1 , p_2 , ... , p_n }\)" (które jest prawdziwe) ze stwierdzeniem "Liczba \(\displaystyle{ p=p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1}\) nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych mniejszych od \(\displaystyle{ p}\) (które może być fałszywe).
W obliczu podanych kilka postów wyżej kontrprzykładów to odważne stwierdzenie...
JK