Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}\geqslant3(a+b-1)}\)
Nierownosc
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Nierownosc
Przerzucamy wszystko na jedną stronę i mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}-3(a+b-1)\geqslant 0}\)
teraz grupujemy tak, aby zostawić po lewej same kwadraty i po przekształceniach wychodzi, że:
\(\displaystyle{ (a+\frac{b-3}{2})^{2}+\frac{3}{4}(b-1)^{2}\geq 0}\), co oczywiście jest prawdą
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}-3(a+b-1)\geqslant 0}\)
teraz grupujemy tak, aby zostawić po lewej same kwadraty i po przekształceniach wychodzi, że:
\(\displaystyle{ (a+\frac{b-3}{2})^{2}+\frac{3}{4}(b-1)^{2}\geq 0}\), co oczywiście jest prawdą