Sprawdzić czy
\(\displaystyle{ 5 ^{70}=2\pmod{71} }\)
Z jakich własności trzeba tu skorzystać?
Działania modularne
Działania modularne
Ostatnio zmieniony 21 lis 2019, o 01:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Działania modularne
\(\displaystyle{ 71}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ \NWD(5, 71)=1}\), więc z małego twierdzenia Fermata mamy \(\displaystyle{ 5^{70}\equiv 1\pmod{71}}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Działania modularne
Można również zauważyć, że \(\displaystyle{ 5^5\equiv 1\pmod{71}}\) a zatem podnosząc kongruencję stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\) (formalnie można to indukcją pokazać) dostajemy, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ 5^{5n}\equiv 1\pmod{71}}\). Stąd natychmiastowy wniosek, że nieprawdą kongruencja z zadania.