Kwadraty i jedynka
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Kwadraty i jedynka
Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w formie \(\displaystyle{ p = a^2+b^2+c^2+1}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) sa liczbami całkowitymi.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Kwadraty i jedynka
Wygląda mocno nieelementarnie. Sprawę załatwia w moim przekonaniu to twierdzenie:
(twierdzenie Legendre'a o sumie trzech kwadratów).
Wystarczy w jego świetle udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\), które nie są postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) dla żadnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) (bo gdyby było \(\displaystyle{ p-1=8t+7}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in \ZZ}\), to \(\displaystyle{ 8|p}\), co oczywiście jest wykluczone). Wykażemy więc, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) (znacznie ogólniejszy wynik daje nam kolejna armata, czyli twierdzenie Dirichleta):
przypuśćmy nie wprost, że istnieje jedynie skończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) i niech wszystkimi tymi liczbami będą \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}}\). Niechaj
\(\displaystyle{ A=4a_{1}a_{2}\ldots a_{n}-1}\). Udowodnimy, że liczba \(\displaystyle{ A}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) (oczywiście \(\displaystyle{ (A, a_{i})=1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots n}\), więc to zakończy dowód nie wprost).
Liczba \(\displaystyle{ A}\) jest oczywiście nieparzysta i \(\displaystyle{ A\equiv 3\pmod{4}}\). Gdyby \(\displaystyle{ A}\) miała same dzielniki pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\), to patrząc na rozkład \(\displaystyle{ A}\) na czynniki pierwsze i korzystając z arytmetyki modularnej widzimy, że \(\displaystyle{ A=\prod_{j=1}^{k}p_{j}^{\alpha_{j}}\equiv \prod_{j=1}^{k}1^{\alpha_{j}}\pmod{4}}\), czyli \(\displaystyle{ A\equiv 1\pmod{4}}\), a to jest oczywista sprzeczność, bo \(\displaystyle{ A+2\equiv 1\pmod{4}}\). Stąd istnieje dzielnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ A}\) przystający do \(\displaystyle{ 3\pmod{4}}\) i różny od \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Teraz bierzemy liczby \(\displaystyle{ p=4k+3, \ k\in \ZZ}\) i wtedy, rzecz jasna, \(\displaystyle{ p-1\equiv 2\pmod{4}}\), w szczególności \(\displaystyle{ p-1}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ 4^{m}(8n+7), \ m,n\in \NN}\).
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_three-square_theorem(twierdzenie Legendre'a o sumie trzech kwadratów).
Wystarczy w jego świetle udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\), które nie są postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) dla żadnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) (bo gdyby było \(\displaystyle{ p-1=8t+7}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in \ZZ}\), to \(\displaystyle{ 8|p}\), co oczywiście jest wykluczone). Wykażemy więc, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) (znacznie ogólniejszy wynik daje nam kolejna armata, czyli twierdzenie Dirichleta):
przypuśćmy nie wprost, że istnieje jedynie skończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) i niech wszystkimi tymi liczbami będą \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}}\). Niechaj
\(\displaystyle{ A=4a_{1}a_{2}\ldots a_{n}-1}\). Udowodnimy, że liczba \(\displaystyle{ A}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) (oczywiście \(\displaystyle{ (A, a_{i})=1}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots n}\), więc to zakończy dowód nie wprost).
Liczba \(\displaystyle{ A}\) jest oczywiście nieparzysta i \(\displaystyle{ A\equiv 3\pmod{4}}\). Gdyby \(\displaystyle{ A}\) miała same dzielniki pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\), to patrząc na rozkład \(\displaystyle{ A}\) na czynniki pierwsze i korzystając z arytmetyki modularnej widzimy, że \(\displaystyle{ A=\prod_{j=1}^{k}p_{j}^{\alpha_{j}}\equiv \prod_{j=1}^{k}1^{\alpha_{j}}\pmod{4}}\), czyli \(\displaystyle{ A\equiv 1\pmod{4}}\), a to jest oczywista sprzeczność, bo \(\displaystyle{ A+2\equiv 1\pmod{4}}\). Stąd istnieje dzielnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ A}\) przystający do \(\displaystyle{ 3\pmod{4}}\) i różny od \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}\ldots a_{n}}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Teraz bierzemy liczby \(\displaystyle{ p=4k+3, \ k\in \ZZ}\) i wtedy, rzecz jasna, \(\displaystyle{ p-1\equiv 2\pmod{4}}\), w szczególności \(\displaystyle{ p-1}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ 4^{m}(8n+7), \ m,n\in \NN}\).