Funkcje całkowitoliczbowe

[arek1357]

Oblicz:

\(\displaystyle{ S=\left\lceil \frac{2x+1}{2} \right\rceil-\left\lceil \frac{2x+1}{4} \right\rceil +\left\lfloor \frac{2x+1}{4} \right\rfloor.}\)

[kerajs]

Dla \(\displaystyle{ t=2x+1}\) suma upraszcza się do:
\(\displaystyle{ S=\left\lceil \frac{t}{2} \right\rceil-\left\lceil \frac{t}{4} \right\rceil +\left\lfloor \frac{t}{4} \right\rfloor.}\)
Niech k będzie dowolną liczbą całkowitą:
1)
\(\displaystyle{ t=4k \ \ \Rightarrow \ \ S=(2k)-(k)+(k)=2k}\)
2)
\(\displaystyle{ t \in \left( 4k ; 4k+2\right) \ \ \Rightarrow \ \ S=(2k+1)-(k+1)+(k)=2k}\)
3)
\(\displaystyle{ t=4k+2 \ \ \Rightarrow \ \ S=(2k+1)-(k+1)+(k)=2k}\)
4)
\(\displaystyle{ t \in \left( 4k+2 ; 4k+4\right) \ \ \Rightarrow \ \ S=(2k+2)-(k+1)+(k)=2k+1}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ S= \begin{cases} 2k & ; & x \in \left\langle \frac{k-1}{2} ; \frac{k+1}{2}\right\rangle \\ 2k+1 & ; & x \in \left( \frac{k+1}{2} ; \frac{k+3}{2}\right) \end{cases} }\)

[arek1357]

Brawo bardzo ładnie...