równość z cechą
-
ann_u
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
równość z cechą
Pokaż że \(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{a} \rfloor + \lfloor \sqrt{2a} \rfloor +...+ \left\lfloor \sqrt{\frac{a-1}{4}a} \right\rfloor = \dfrac{a^2 - 1}{12},}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) liczba pierwsza taka że \(\displaystyle{ a \equiv 1 \pmod{4}}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: równość z cechą
Pokażę mój tok rozumowania najpierw na: \(\displaystyle{ a=13}\)
Chciałem to jakoś zbalansować i się udało:
A mianowicie:
niech: \(\displaystyle{ s= \frac{a-1}{4} }\) dla\(\displaystyle{ a=13, s=3}\)
zbadajmy taką sumę dla trzynastki:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( 13-1^2\right)+ \left( 13-2^2\right)+\left( 13-3^2\right)\right\} + \left\{ \left( 26-4^2\right)+ \left( 26-5^2\right)\right\}+ \left\{ \left( 39-6^2\right)\right\}=39= \frac{a-1}{4} \cdot a,a=13 }\)
Zauważmy, że ciąg ten ma dokładnie sześć wyrazów co daje:
\(\displaystyle{ \frac{a-1}{2} }\)
możemy zapisać tę sumę ciut inaczej:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left( 1+1+1\right) +13 \cdot \left( 2+2\right) +13 \cdot 3- \sum_{i=1}^{ \frac{a-1}{2} }i^2 }\)
ostatnia suma ładnie się zwija...
do:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \frac{a-1}{2} }i^2 = \frac{a^2-1}{24} \cdot a, a=13 }\)
Zajmijmy się sumą pierwszą, zapiszmy wyrażanie tak:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left( 1 \cdot 3+2 \cdot 2+3 \cdot 1\right) -\frac{13^2-1}{24} \cdot 13=39}\)
teraz zauważyłem , że można ładnie zapisać to za pomocą pierwiastków:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left\{ 1 \cdot \left(\left[ \sqrt{13} \right]-0 \right)+2 \cdot \left( \left[ \sqrt{26=2 \cdot 13} \right]- \sqrt{13=1 \cdot 13} \right)+3 \cdot \left( \left[ \sqrt{39=3 \cdot 13} \right]- \sqrt{26=2 \cdot 13} \right) \right\}- \frac{13^2-1}{24} \cdot 13 }\)
Specjalnie tak zapisałem , żeby było widać o co mi chodzi, i jak łatwo to uogólnić...
Po opuszczeniu nawiasów sumy się ładnie skrócą i zostanie:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left\{ 1 \cdot \left[ \sqrt{13} \right]+2 \cdot \left[ \sqrt{26} \right]-2 \cdot \left[ \sqrt{13} \right]+3 \cdot \left[ \sqrt{39} \right]-3 \cdot \left[ \sqrt{26} \right] \right\} - \frac{13^2-1}{24}}\)
Jak widać ładnie się to skróci i zostanie:
\(\displaystyle{ 13\left\{ -\left[ \sqrt{13} \right]-\left[ \sqrt{26} \right]+3 \cdot \left[ \sqrt{39} \right] \right\} - \frac{13^2-1}{24} \cdot 13= \frac{13-1}{4} \cdot 13}\)
jeszcze ciut inaczej :
\(\displaystyle{ 13\left\{ -\left[ \sqrt{13} \right]-\left[ \sqrt{26} \right]- \left[ \sqrt{39} \right] +4 \cdot \left[ \sqrt{39} \right]\right\} - \frac{13^2-1}{24} \cdot 13= \frac{13-1}{4} \cdot 13}\)
Jak widać pojawiła się nasza szukana suma w środku i zapiszemy już tak:
\(\displaystyle{ -13 \cdot S+13 \cdot 4 \cdot \left[ \sqrt{39} \right]- \frac{13^2-1}{24} \cdot 13=\frac{13-1}{4} \cdot 13}\)
Po przeniesieniu i skróceniu przez 13 otrzymamy:
\(\displaystyle{ S=4\left[ \sqrt{39} \right] - \frac{13^2-1}{24} - \frac{13-1}{4} }\)
I teraz:
\(\displaystyle{ 4= \frac{a-1}{4}+1 , \left[ \sqrt{39} \right] = \frac{a-1}{2} }\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ S=\left( \frac{a-1}{4}+1\right) \cdot \frac{a-1}{2} + \frac{a^2-1}{24} + \frac{a-1}{4} }\)
Po skróceniu otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ S= \frac{a^2-1}{24} }\)
I mamy tezę...
Tak to doszedłem dla trzynastu, teraz bardzo łatwo rozciągnąć to na dowolną liczbę pierwszą spełniającą warunek zadania, a więc sformalizujmy i zindeksujmy nasze rozważanie:
zapiszmy naszą sumę tak:
\(\displaystyle{ \left( a-1^2\right)+ \left( a-2^2\right)+...+ \left( a-i_{1}^2\right)+}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{1}=\left[ \sqrt{a} \right] }\)
\(\displaystyle{ \left( 2a-(i_{1}+1)^2\right)+ \left( 2a-(i_{1}+2)^2\right)+...+ \left( 2a-i_{2})^2\right)+}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{2}=\left[ \sqrt{2a} \right] }\)
\(\displaystyle{ \left( 3a-(i_{2}+1)^2\right)+ \left( 3a-(i_{2}+2)^2\right)+...+ \left( 3a-i_{3})^2\right)+}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{3}=\left[ \sqrt{3a} \right] }\)
....................................................................................................................................................................................
\(\displaystyle{ \left( \frac{a-1}{4} a-(i_{j-1}+1)^2\right)+ \left( \frac{a-1}{4} a-(i_{j-1}+2)^2\right)+...+ \left( \frac{a-1}{4}a-i_{j})^2\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{j}=\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4} a} \right] }\)
\(\displaystyle{ j= \frac{a-1}{4} }\)
łatwo zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} i_{k}=1^2+2^2+...+ \left( \frac{a-1}{2} \right)^2= \frac{1}{3} \frac{a-1}{4}\left( \frac{a-1}{2}+1 \right)a=I }\)
ze wzoru na sumę kwadratów
To co zostanie balansujemy sobie i a wyciągniemy przed nawias:
\(\displaystyle{ a\left\{ \left[ \sqrt{a} \right]+2\left( \left[ \sqrt{2a} \right] - \left[ \sqrt{a} \right]\right)+3\left( \left[ \sqrt{3a} \right] - \left[ \sqrt2{a} \right]\right) +...+ \frac{a-1}{4}\left( \left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]- \left[ \sqrt{ (\frac{a-1}{4}-1)a } \right]\right) \right\} -I= \frac{a-1}{4}a }\)
To wszystko w klamrowym nawiasie skróci się do postaci:
\(\displaystyle{ a\left\{ - \sum_{}^{} +\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right] + \frac{a-1}{4}\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right] \right\}-I= \frac{a-1}{4}a }\)
Po podzieleniu obu stron przez a i zamianie stron otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} =\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]+ \frac{a-1}{4}\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]- \frac{I}{a}- \frac{a-1}{4} }\)
ale:
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]= \frac{a-1}{2} }\)
Otrzymamy ostatecznie:
\(\displaystyle{ - \sum_{}^{} + \frac{a-1}{2}+ \frac{a-1}{4} \cdot \frac{a-1}{2} - \frac{J}{a}= \frac{a-1}{4} }\)
lub:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} = \frac{4a-4+a^2-2a+1}{8} - \frac{a^2-1}{24} - \frac{a-1}{4} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} = \frac{3a^2+6a-9-a^2+1}{24}- \frac{6a-6}{24} }\)
co daje:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} = \frac{a^2-1}{12} }\)
cnd...
uff no najgorzej z tymi indeksami było, najlepiej się szukało dla trzynastki powiązań i zależności, potem już tylko z górki, w sumie były to działania na resztach kwadratowych...
Zadanie fajne trochę zabawy...
Chciałem to jakoś zbalansować i się udało:
A mianowicie:
niech: \(\displaystyle{ s= \frac{a-1}{4} }\) dla\(\displaystyle{ a=13, s=3}\)
zbadajmy taką sumę dla trzynastki:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( 13-1^2\right)+ \left( 13-2^2\right)+\left( 13-3^2\right)\right\} + \left\{ \left( 26-4^2\right)+ \left( 26-5^2\right)\right\}+ \left\{ \left( 39-6^2\right)\right\}=39= \frac{a-1}{4} \cdot a,a=13 }\)
Zauważmy, że ciąg ten ma dokładnie sześć wyrazów co daje:
\(\displaystyle{ \frac{a-1}{2} }\)
możemy zapisać tę sumę ciut inaczej:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left( 1+1+1\right) +13 \cdot \left( 2+2\right) +13 \cdot 3- \sum_{i=1}^{ \frac{a-1}{2} }i^2 }\)
ostatnia suma ładnie się zwija...
do:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \frac{a-1}{2} }i^2 = \frac{a^2-1}{24} \cdot a, a=13 }\)
Zajmijmy się sumą pierwszą, zapiszmy wyrażanie tak:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left( 1 \cdot 3+2 \cdot 2+3 \cdot 1\right) -\frac{13^2-1}{24} \cdot 13=39}\)
teraz zauważyłem , że można ładnie zapisać to za pomocą pierwiastków:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left\{ 1 \cdot \left(\left[ \sqrt{13} \right]-0 \right)+2 \cdot \left( \left[ \sqrt{26=2 \cdot 13} \right]- \sqrt{13=1 \cdot 13} \right)+3 \cdot \left( \left[ \sqrt{39=3 \cdot 13} \right]- \sqrt{26=2 \cdot 13} \right) \right\}- \frac{13^2-1}{24} \cdot 13 }\)
Specjalnie tak zapisałem , żeby było widać o co mi chodzi, i jak łatwo to uogólnić...
Po opuszczeniu nawiasów sumy się ładnie skrócą i zostanie:
\(\displaystyle{ 13 \cdot \left\{ 1 \cdot \left[ \sqrt{13} \right]+2 \cdot \left[ \sqrt{26} \right]-2 \cdot \left[ \sqrt{13} \right]+3 \cdot \left[ \sqrt{39} \right]-3 \cdot \left[ \sqrt{26} \right] \right\} - \frac{13^2-1}{24}}\)
Jak widać ładnie się to skróci i zostanie:
\(\displaystyle{ 13\left\{ -\left[ \sqrt{13} \right]-\left[ \sqrt{26} \right]+3 \cdot \left[ \sqrt{39} \right] \right\} - \frac{13^2-1}{24} \cdot 13= \frac{13-1}{4} \cdot 13}\)
jeszcze ciut inaczej :
\(\displaystyle{ 13\left\{ -\left[ \sqrt{13} \right]-\left[ \sqrt{26} \right]- \left[ \sqrt{39} \right] +4 \cdot \left[ \sqrt{39} \right]\right\} - \frac{13^2-1}{24} \cdot 13= \frac{13-1}{4} \cdot 13}\)
Jak widać pojawiła się nasza szukana suma w środku i zapiszemy już tak:
\(\displaystyle{ -13 \cdot S+13 \cdot 4 \cdot \left[ \sqrt{39} \right]- \frac{13^2-1}{24} \cdot 13=\frac{13-1}{4} \cdot 13}\)
Po przeniesieniu i skróceniu przez 13 otrzymamy:
\(\displaystyle{ S=4\left[ \sqrt{39} \right] - \frac{13^2-1}{24} - \frac{13-1}{4} }\)
I teraz:
\(\displaystyle{ 4= \frac{a-1}{4}+1 , \left[ \sqrt{39} \right] = \frac{a-1}{2} }\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ S=\left( \frac{a-1}{4}+1\right) \cdot \frac{a-1}{2} + \frac{a^2-1}{24} + \frac{a-1}{4} }\)
Po skróceniu otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ S= \frac{a^2-1}{24} }\)
I mamy tezę...
Tak to doszedłem dla trzynastu, teraz bardzo łatwo rozciągnąć to na dowolną liczbę pierwszą spełniającą warunek zadania, a więc sformalizujmy i zindeksujmy nasze rozważanie:
zapiszmy naszą sumę tak:
\(\displaystyle{ \left( a-1^2\right)+ \left( a-2^2\right)+...+ \left( a-i_{1}^2\right)+}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{1}=\left[ \sqrt{a} \right] }\)
\(\displaystyle{ \left( 2a-(i_{1}+1)^2\right)+ \left( 2a-(i_{1}+2)^2\right)+...+ \left( 2a-i_{2})^2\right)+}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{2}=\left[ \sqrt{2a} \right] }\)
\(\displaystyle{ \left( 3a-(i_{2}+1)^2\right)+ \left( 3a-(i_{2}+2)^2\right)+...+ \left( 3a-i_{3})^2\right)+}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{3}=\left[ \sqrt{3a} \right] }\)
....................................................................................................................................................................................
\(\displaystyle{ \left( \frac{a-1}{4} a-(i_{j-1}+1)^2\right)+ \left( \frac{a-1}{4} a-(i_{j-1}+2)^2\right)+...+ \left( \frac{a-1}{4}a-i_{j})^2\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ i_{j}=\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4} a} \right] }\)
\(\displaystyle{ j= \frac{a-1}{4} }\)
łatwo zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} i_{k}=1^2+2^2+...+ \left( \frac{a-1}{2} \right)^2= \frac{1}{3} \frac{a-1}{4}\left( \frac{a-1}{2}+1 \right)a=I }\)
ze wzoru na sumę kwadratów
To co zostanie balansujemy sobie i a wyciągniemy przed nawias:
\(\displaystyle{ a\left\{ \left[ \sqrt{a} \right]+2\left( \left[ \sqrt{2a} \right] - \left[ \sqrt{a} \right]\right)+3\left( \left[ \sqrt{3a} \right] - \left[ \sqrt2{a} \right]\right) +...+ \frac{a-1}{4}\left( \left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]- \left[ \sqrt{ (\frac{a-1}{4}-1)a } \right]\right) \right\} -I= \frac{a-1}{4}a }\)
To wszystko w klamrowym nawiasie skróci się do postaci:
\(\displaystyle{ a\left\{ - \sum_{}^{} +\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right] + \frac{a-1}{4}\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right] \right\}-I= \frac{a-1}{4}a }\)
Po podzieleniu obu stron przez a i zamianie stron otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} =\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]+ \frac{a-1}{4}\left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]- \frac{I}{a}- \frac{a-1}{4} }\)
ale:
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{ \frac{a-1}{4}a } \right]= \frac{a-1}{2} }\)
Otrzymamy ostatecznie:
\(\displaystyle{ - \sum_{}^{} + \frac{a-1}{2}+ \frac{a-1}{4} \cdot \frac{a-1}{2} - \frac{J}{a}= \frac{a-1}{4} }\)
lub:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} = \frac{4a-4+a^2-2a+1}{8} - \frac{a^2-1}{24} - \frac{a-1}{4} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} = \frac{3a^2+6a-9-a^2+1}{24}- \frac{6a-6}{24} }\)
co daje:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} = \frac{a^2-1}{12} }\)
cnd...
uff no najgorzej z tymi indeksami było, najlepiej się szukało dla trzynastki powiązań i zależności, potem już tylko z górki, w sumie były to działania na resztach kwadratowych...
Zadanie fajne trochę zabawy...