pierwiastek n stopnia z n będzie liczbą niewymierną

[kingdomdeliverance]

Hej, mam z tym problem,
Udowodnij , że jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 1}\) to pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą niewymierną.

Proszę o jak najprostsze (wręcz łopatologiczne) rozwiązanie,
dzięki

[Premislav]

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n>1}\). Liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{n}-n}\). Zatem z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wynika, że jedyne pierwiastki wymierne \(\displaystyle{ W(x)}\) to liczby całkowite będące dzielnikami \(\displaystyle{ n}\). Ale dla \(\displaystyle{ n>1}\) mamy
\(\displaystyle{ 1<\sqrt[n]{n}<2}\), pierwsza nierówność jest dość oczywista, druga może wymagać prostego dowodu (można to przekształcić do \(\displaystyle{ n<2^{n}}\)).

[a4karo]

Chyba nie tak z tym pierwiastkiem

[Premislav]

Dlaczego? Nie widzę błędu, jak bym się nie koncentrował. Może pisał pan to o starej treści, którą zdążyłem zmienić, zanim pan zamieścił post?

A, może chodzi o to, że miało być „jedyne możliwe", zgubiłem słowo „możliwe", ponieważ spieszyłem się do sklepu.

[a4karo]

Ja się odnosilem do \(\displaystyle{ x^n=1}\)

[kingdomdeliverance]

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n>1}\). Liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{n}-n}\). Zatem z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wynika, że jedyne pierwiastki wymierne \(\displaystyle{ W(x)}\) to liczby całkowite będące dzielnikami \(\displaystyle{ n}\). Ale dla \(\displaystyle{ n>1}\) mamy
\(\displaystyle{ 1<\sqrt[n]{n}<2}\), pierwsza nierówność jest dość oczywista, druga może wymagać prostego dowodu (można to przekształcić do \(\displaystyle{ n<2^{n}}\)).

czy mogę prosić o wytłumaczenie tych wielomianów? Jestem w pierwszej liceum (po podstawówce) i nie wiem co to

[Premislav]

Wielomiany to cały spory dział z liceum. Nie mam ochoty Ci tego tłumaczyć od zera, jeśli chcesz się czegoś o tym dowiedzieć, to powinno być w podręczniku do liceum, można też zajrzeć na Khan Academy, choć stamtąd się wielomianów nie uczyłem.

To może w takim razie zaproponuję inne rozwiązanie:
ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n>1}\). Przypuśćmy nie wprost, że istnieją takie liczby \(\displaystyle{ p\in \NN^{+}, \ q\in \NN^{+}}\) (takie wystarczy rozważyć, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}>0}\)), że \(\displaystyle{ \NWD(p,q)=1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}=\frac{p}{q}}\). Stąd dostajemy:
\(\displaystyle{ n=\frac{p^{n}}{q^{n}}\\ nq^{n}=p^{n}}\)
ale to oznacza, że \(\displaystyle{ q^{n}}\) dzieli \(\displaystyle{ p^{n}}\). Przypuśćmy nie wprost, że pewna liczba pierwsza \(\displaystyle{ r\in \PP}\) dzieli \(\displaystyle{ q}\). Wówczas \(\displaystyle{ r^{n}}\) dzieli \(\displaystyle{ q^{n}}\) i ponieważ \(\displaystyle{ q^{n}}\) dzieli \(\displaystyle{ p^{n}}\), więc też \(\displaystyle{ r^{n}}\) dzieli \(\displaystyle{ p^{n}}\). Jeżeli popatrzymy na rozkład \(\displaystyle{ p}\) na czynniki pierwsze, to stąd wyniknie, że \(\displaystyle{ r}\) dzieli \(\displaystyle{ p}\), czyli \(\displaystyle{ r|p, \ r|q}\). Ale miało być \(\displaystyle{ \NWD(p,q)=1}\). Sprzeczność.
W związku z tym musi być \(\displaystyle{ q=1}\) i otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ n=p^{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ p\in\NN^{+}}\). Nie może być \(\displaystyle{ p=1}\), wszak mamy \(\displaystyle{ n>1}\), jest więc \(\displaystyle{ p\ge 2}\) i \(\displaystyle{ n=\overbrace{1+1+\ldots+1}^{n}\le 1+2+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1<2^{n}\le p^{n}=n}\), jest to sprzeczność, która kończy dowód.

[janusz47]

Twierdzenie

Jeśli \(\displaystyle{ m> 0 }\) jest liczbą całkowitą, która nie jest \(\displaystyle{ n }\)- tą potęgę żadnej liczby całkowitej, to liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{m} }\) jest liczbą niewymierną.

Dowód (pochodzi od Pana dr Michała Krycha)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{m} = \frac{q}{r} }\) gdzie \(\displaystyle{ q, \ \ r }\) są liczbami naturalnymi, przy czym ułamek \(\displaystyle{ \frac{q}{r} }\) jest nieskracalny, czyli liczby \(\displaystyle{ q, \ \ r }\) nie mają wspólnego dzielnika pierwszego.

Wtedy

\(\displaystyle{ m\cdot r^{n} = q^{n} \ \ (1) }\)

Jeśli jakaś liczba pierwsza jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ r, }\) to jest dzielnikiem lewej strony równości \(\displaystyle{ (1) }\) więc jest dzielnikiem prawej strony, czyli liczby \(\displaystyle{ q^{n}. }\) Stąd wynika, że liczba \(\displaystyle{ q }\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ r. }\) Przeczy to temu, że liczby \(\displaystyle{ q, \ \ r }\) nie mają wspólnego dzielnika pierwszego.

c.b.d.o.