Genus krzywych algebraicznych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
HelperNES
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stęszew
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 14 razy

Genus krzywych algebraicznych

Post autor: HelperNES » 8 paź 2019, o 16:25

Witam, szukałem w wielu miejscach i nie mogłem nigdzie znaleźć prostego sposobu aby wyliczyć genus dla krzywych algebraicznych....

Jedną z krzywych, ktorych genus mnie interesuje jest na przykład:
\(\displaystyle{ y^2\ =\ 128x^8-192x^6+88x^4-12x^2+1}\)

Pozdrawiam

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 381
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 122 razy

Re: Genus krzywych algebraicznych

Post autor: Slup » 9 paź 2019, o 12:02

Genus występuje w dwóch wersjach - genus arytmetyczny i genus geometryczny. Genus geometryczny ma sens dla krzywych rzutowych i gładkich. Genus arytmetyczny ma sens dla krzywych rzutowych. Oba pojęcia pokrywają się w przypadku krzywych rzutowych i gładkich. Istnieje jeszcze pojęcie genusu topologicznego i pokrywa się z pozostałymi dwoma dla krzywych rzutowych i gładkich nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) (powierzchni Riemanna).

Twoja krzywa (tak jak została zapisana) jest afiniczna, a więc nie jest rzutowa. Można by ją urzutowić (uzwarcić) dodając jeden punkt w nieskończoności i policzyć genus tego urzutowienia. Urzutowienie to ma równanie

\(\displaystyle{ 0 = 128x^8 -192 z^2x^6 + 88 z^4x^4 -12z^6x^2 - z^6 y^2}\)

w płaszczyźnie rzutowej \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2}\). Jeśli to urzutowienie jest krzywą gładką, to jest jedyne (wynika to z klasyfikacji krzywych). Nie wiem, czy jest ono krzywą gładką. Sprawdzenie tego wymagało by zastosowania kryterium jakobianowego, co jest żmudnym rachunkiem (i być może skomplikowanym rachunkiem). Przy założeniu jednak, że ta nowa krzywa jest gładka, otrzymujemy, że jej genus arytmetyczny/topologiczny(gdy patrzysz na nią jak na krzywą nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\))/geometryczny wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{(d-1)(d-2)}{2}}\)

gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest stopniem tej krzywej w \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2}\). Stopień ten to stopień równania, które opisuje zanurzenie tej krzywej w \(\displaystyle{ \mathbb{P}^2}\) (krzywa to ogólnie rzecz biorąc abstrakcyjna rozmaitość algebraiczna lub ewentualnie schemat, niezanurzona w jakąkolwiek większą przestrzeń, więc sama w sobie nie ma stopnia - stopień jest zależny od zanurzenia). Stąd genus wynosi \(\displaystyle{ 21}\), bo stopień zanurzenia to \(\displaystyle{ 8}\). Oczywiście wszystko przy założeniu, że to urzutowienie jest gładkie, czego nie sprawdziłem.

HelperNES
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stęszew
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 14 razy

Re: Genus krzywych algebraicznych

Post autor: HelperNES » 10 paź 2019, o 14:47

Dzięki Slup za szczegółowe tłumaczenie i to bardzo zrozumiałe.

Jedyne jakie mam teraz pytanie, to jakie są punkty \(\displaystyle{ (x \colon y \colon z)}\) takie, że rozwiązania są w liczbach wymiernych.

Trafiłem na krzywe algebraiczne przez rozważania nad jedną macierzą i zostało mi do znalezienia punkt, ktory powoduje, że pięć różnych wyrażen jest kwadratami i sądzę, że krzywe algebraiczne powinny w tym pomóc

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 381
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 122 razy

Re: Genus krzywych algebraicznych

Post autor: Slup » 10 paź 2019, o 15:16

Cieszę się, że mogłem Ci pomóc.

Problem punktów wymiernych uchodzi za trudny. Istnieją jednak pewne (bardzo zaawansowane) rezultaty z geometrii algebraicznej, które coś na ten temat mówią. Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie gładką krzywą rzutową nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) (np. Twoja krzywa po urzutowieniu, o ile jest gładka) genusu \(\displaystyle{ g}\). Wówczas
  • Dla \(\displaystyle{ g = 0}\) krzywa \(\displaystyle{ C}\) jest stożkową. Jeśli ma punkt wymierny, to jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{P}^1}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) (czyli istnieje izomorfizm wielomianowy zadany przez wielomiany o współczynnikach wymiernych) i wówczas ma nieskończenie wiele punktów wymiernych. To akurat jest łatwe.
  • Dla \(\displaystyle{ g =1}\) nie ma punktów wymiernych lub w przeciwnym razie krzywa jest eliptyczna (to też łatwe). W drugim przypadku można stosować rozmaite trudne wyniki o grupie (skończenie generowanej abelowej) punktów wymiernych (rezultaty Mordell-Weila, Mazura).
  • Dla \(\displaystyle{ g > 1}\) istnieje skończenie wiele punktów wymiernych (to rezultat Faltings'a, za który dostał medal Fields'a).
Niestety nie wiem za wiele na temat efektywnego wyznaczania takich punktów. W ogólnym przypadku takich metod nie ma dla punktów o współrzędnych całkowitych, co jest treścią słynnego wyniku Matiyasevicha. Warto jednak zaznaczyć, że w szczególnych przypadkach lub dla poszczególnych klas równań takie metody istnieją. Nie umiem jednak nic bardziej konkretnego powiedzieć.

ODPOWIEDZ