Podaj ostatnią cyfrę

[max123321]

Podaj ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ (4^{14}+2^{17}-5^{15})^2}\).

Jak to zrobić?

[Dasio11]

Podpowiedź: żeby znać ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ a^2}\), czy wystarczy znać ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ a}\)?

[max123321]

No tak, w zasadzie ja myślałem w ten sam sposób. Możemy licząc na palcach przekonać się, że \(\displaystyle{ 4^{14}}\) ma ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ 6}\), natomiast \(\displaystyle{ 2^{17}}\) ma ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 5^{15}}\) ma ostatnią cyfrę równą \(\displaystyle{ 5}\). Czyli ostatnia cyfra danej liczby to \(\displaystyle{ (6+2-5)^2=9}\).

Dobrze? Chociaż myślałem, że da się to jakoś bardziej elegancko zrobić, ale może się myliłem.

[Dasio11]

Dobrze, ale jak wyliczyłeś ostatnie cyfry tych trzech potęg? Bo na pewno nie trzeba ich obliczać.

[max123321]

No liczyłem tak, że \(\displaystyle{ 4}\) jak potęgujemy do nieparzystej potęgi to dostajemy na końcu cyfrę \(\displaystyle{ 4}\), a jak do parzystej to dostajemy ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ 6}\). Bo na przykład \(\displaystyle{ 4^2=16,4^3=64}\) i dalej się powtarza ostatnia cyfra. Czyli \(\displaystyle{ 4^{14}}\) ma ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ 6}\). Natomiast jak potęgujemy \(\displaystyle{ 2}\), to jak podnosimy do potęgi \(\displaystyle{ 4k+1}\) na końcu dostajemy \(\displaystyle{ 2}\), jeśli do \(\displaystyle{ 4k+2}\), to \(\displaystyle{ 4}\), jeśli do \(\displaystyle{ 4k+3}\) to \(\displaystyle{ 8}\), jeśli do \(\displaystyle{ 4k+4}\) to \(\displaystyle{ 6}\). Więc \(\displaystyle{ 2^{17}}\) ma ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ 2}\). No, a \(\displaystyle{ 5}\) do dowolnej potęgi będzie miało zawsze na końcu liczbę \(\displaystyle{ 5}\). Myślałem, w ten sposób. A można to było jakoś sprytniej zrobić?

[Dasio11]

Nie.

[Gosda]

Można trochę sprytniej, ale sposób jest taki sam: liczyć wszystko modulo 10. Wtedy \(\displaystyle{ 4^2 = 16 \equiv 6}\), \(\displaystyle{ 4^3 \equiv 4 \cdot 6 = 24 \equiv 4}\) itd., nie trzeba szukać dokładnej wartości sześcianu. Ale zysk jest minimalny.