uzasadnij ze liczba jest niewymierna

[mathxc]

Uzasadnij, że liczba$$\sqrt[3]2-\sqrt2$$ jest niewymierna.
Jak to zrobić?

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2} =x }\) wtedy:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=x+ \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ 2=\left(x+ \sqrt{2} \right)^3 }\)
\(\displaystyle{ 2=x^3+6x+ \sqrt{2}\left( 3x^2+2\right) }\)
\(\displaystyle{ 2-x^3-6x=\sqrt{2}\left( 3x^2+2\right)}\)
\(\displaystyle{ (2-x^3-6x)^2=2\left( 3x^2+2\right)^2}\)
\(\displaystyle{ 2\left( 3x^2+2\right)^2-(2-x^3-6x)^2=0}\)

Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2\left( 3x^2+2\right)^2-(2-x^3-6x)^2}\). A czy umiesz wymienić jakie wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) może mieć pierwiasteki wymierne? Bo jest ich kilka i nie należy do nich \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}}\) (zatem jest niewymierny).

[janusz47]

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/1316335/prove-sqrt2-sqrt32-is-irrational

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{2}-\sqrt{2}}\). Przypuśćmy nie wprost, że ta liczba jest wymierna.
Mamy:
\(\displaystyle{ x+\sqrt{2}=\sqrt[3]{2}\\x^{3}+3\sqrt{2}x^{2}+6x+2\sqrt{2}=2\\ \sqrt{2}=\frac{2-6x-x^{3}}{3x^{2}+2}}\)
Po lewej stronie równości masz liczbę niewymierną (pewnie wcześniej gdzieś pojawił się dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), jak nie, to można takowy przeprowadzić np. z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, rozważając wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^2-2}\)), a po prawej wymierną, czyli sprzeczność.

[a4karo]

Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2\left( 3x^2+2\right)^2-(2-x^3-6x)^2}\). A czy umiesz wymienić jakie wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) może mieć pierwiasteki wymierne? Bo jest ich kilka i nie należy do nich \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}}\) (zatem jest niewymierny).

W ten sposób sprowadziłeś zadanie do pokazania, że \(x\) nie jest jedną z kilku liczb, ale nie pokazałeś, że nie jest.

[Janusz Tracz]

No nie pokazałem ale powiedziałem, że

Bo jest ich kilka i nie należy do nich \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2} - \sqrt{2} }\)

Formalnie sprawdzenie tego to kwestia techniczna więc zostawiłem to autorowi który też powinien wykazać zainteresowaniem. O ile liczby \(\displaystyle{ 1,2,4}\) (a biorą się one ze względy na wyraz wolny \(\displaystyle{ W(x)}\)) odpadają od razu ze względu na znak to pokazanie iż \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2} - \sqrt{2} \not\in\left\{ -1,-2,-4\right\} }\) też nie jest trudne (przy pomocy kalkulatora jak i bez).

[a4karo]

Jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą wymierną, to \(\displaystyle{ \sqrt{2}+z}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych
$$W(t)=t^2-\frac t2+ \frac z2-z^2-2.$$
Ale \(\displaystyle{ \sqrt[3]2}\) nie jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego o współczynnikach wymiernych.

[janusz47]

Do sprawdzania niewymierności pojedynczych pierwiastków, przydatne jest twierdzenie o niewymierności liczby \(\displaystyle{ \sqrt[n]{m}.}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ m > 0 }\) jest liczbą całkowitą, która nie jest \(\displaystyle{ n- }\) tą potęgą żadnej liczby całkowitej, to liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{m} }\) jest niewymierna.

Dowód można znaleźć na przykład u Pana dr Michała Krycha z Uniwersytetu Warszawskiego.