Zauważyłem, że jeśli w arkuszu kalkulacyjnym obliczę odległość (kanoniczną, z tw. Pitagorasa) każdej komórki od pewnej komórki wybranej jako środek, to równoodległych komórek będzie zawsze maksymalnie osiem. To się da łatwo wytłumaczyć, wszak umiejscawiając środek ukł. współrz. w zerach oraz definiując normę jako
\(\displaystyle{ d(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}}\) widzimy, że funkcja
\(\displaystyle{ d}\) jest nieczuła na zamianę kolejności argumentów oraz zmiany ich znaków, co daje 2*2*2=8 możliwości. Zatem mając jedną parę
\(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) mamy automatycznie pozostałych 7 par. Oczywiście poruszamy się w dyskretnym zbiorze komórek z arkusza kalkulacyjnego — czyli w liczbach naturalnych dodatnich.
Ale jak udowodnić, że więcej par liczb o danej odległości od środka nie ma?? Zapisuję r-nie w liczbach naturalnych dodatnich:
\(\displaystyle{ x_0^2+y_0^2=x_1^2+y_1^2}\)
Dla uproszczenia zakładam, że
\(\displaystyle{ x_i>y_i,\ x_0<x_1}\), mogę nawet wprowadzić różnicę
\(\displaystyle{ n:=x_1-x_0,\ m:=x_0-y_0}\) oraz zmienić oznaczenia na czytelniejsze:
\(\displaystyle{ a:=y_0,\ b:=y_1}\). Ostatecznie mam takie r-nie diofantyczne:
\(\displaystyle{ (a+m)^2+a^2=(a+m+n)^2+b^2, \quad (a,b,m,n) \in \NN_+}\)
Po przepisaniu:
\(\displaystyle{ a^2=2an+2mn+n^2+b^2}\)
Chcę znaleźć wszystkie rozwiązania.
Nawet Mathematica nie chce współpracować
Jak to ugryźć?