Diofantyczne | Punkty na okręgu

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Diofantyczne | Punkty na okręgu

Post autor: vpprof »

Zauważyłem, że jeśli w arkuszu kalkulacyjnym obliczę odległość (kanoniczną, z tw. Pitagorasa) każdej komórki od pewnej komórki wybranej jako środek, to równoodległych komórek będzie zawsze maksymalnie osiem. To się da łatwo wytłumaczyć, wszak umiejscawiając środek ukł. współrz. w zerach oraz definiując normę jako \(\displaystyle{ d(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}}\) widzimy, że funkcja \(\displaystyle{ d}\) jest nieczuła na zamianę kolejności argumentów oraz zmiany ich znaków, co daje 2*2*2=8 możliwości. Zatem mając jedną parę \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) mamy automatycznie pozostałych 7 par. Oczywiście poruszamy się w dyskretnym zbiorze komórek z arkusza kalkulacyjnego — czyli w liczbach naturalnych dodatnich.


Ale jak udowodnić, że więcej par liczb o danej odległości od środka nie ma?? Zapisuję r-nie w liczbach naturalnych dodatnich:
\(\displaystyle{ x_0^2+y_0^2=x_1^2+y_1^2}\)
Dla uproszczenia zakładam, że \(\displaystyle{ x_i>y_i,\ x_0<x_1}\), mogę nawet wprowadzić różnicę \(\displaystyle{ n:=x_1-x_0,\ m:=x_0-y_0}\) oraz zmienić oznaczenia na czytelniejsze: \(\displaystyle{ a:=y_0,\ b:=y_1}\). Ostatecznie mam takie r-nie diofantyczne:
\(\displaystyle{ (a+m)^2+a^2=(a+m+n)^2+b^2, \quad (a,b,m,n) \in \NN_+}\)
Po przepisaniu:
\(\displaystyle{ a^2=2an+2mn+n^2+b^2}\)
Chcę znaleźć wszystkie rozwiązania.


Nawet Mathematica nie chce współpracować :( Jak to ugryźć?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Diofantyczne | Punkty na okręgu

Post autor: kerajs »

vpprof pisze: 25 wrz 2019, o 03:34 Ale jak udowodnić, że więcej par liczb o danej odległości od środka nie ma?? Zapisuję r-nie w liczbach naturalnych dodatnich:
\(\displaystyle{ x_0^2+y_0^2=x_1^2+y_1^2}\)
Błędność tej tezy można wykazać przez wskazanie kontrprzykładu
\(\displaystyle{ 12 }\) równoodległych komórek masz dla dwójek: \(\displaystyle{ (0,5) , (3,4)}\)
\(\displaystyle{ 20}\) równoodległych komórek masz dla dwójek: \(\displaystyle{ (0,65), (16,63), (33,56)}\)
\(\displaystyle{ 32}\) równoodległych komórek masz dla dwójek: \(\displaystyle{ (4,33) , (9,32), (12,31), (24,23)}\)
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2019, o 10:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Re: Diofantyczne | Punkty na okręgu

Post autor: vpprof »

Czegoś nie rozumiem w Twoim zapisie. Te dwójki to są współrzędne punktów? Jeśli tak, to:
kerajs pisze: 25 wrz 2019, o 05:11 \(\displaystyle{ 32}\) równoodległych komórek masz dla dwójek: \(\displaystyle{ (4,33) , (9,32), (12,31), (24,23)}\)
— widzę dwie interpretacje:
  • 32 równoodl. komórki dla każdej z dwójek, czyli np. dla dwójki (4,33) mam 32 takie komórki — ale nie wiem, jakie mają mieć współrzędne?
  • 32 równoodl. komórki dla wszystkich tych czterech dwójek wziętych razem, czyli być może po osiem dla każdej z nich — ale wtedy wydaje mi się, że nie będą równoodległe, bo \(\displaystyle{ 4^2+33^2=1089 \neq 9^2+32^2=1121}\)
A może po prostu zaokrągliły Ci się pierwiastki? :)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Diofantyczne | Punkty na okręgu

Post autor: kerajs »

vpprof pisze: 25 wrz 2019, o 19:31 \(\displaystyle{ 4^2+33^2=1089 \neq 9^2+32^2=1121}\)
A może po prostu zaokrągliły Ci się pierwiastki? :)
Moim zdaniem
\(\displaystyle{ 4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2=23^2+24^2=1105}\)

Więc, o ile się w powyższym nie mylę, to w tym przykładzie masz w pierwszej ćwiartce 8 punktów kratowych odległych od środka układu o \(\displaystyle{ \sqrt{1105} }\) . Są to: \(\displaystyle{ (4,33) , (33,4) , (32,9), (9,32), (12,31), (31,12), (23,24) , (24,23)}\) . Bawiąc się znakami masz po 8 innych punków w każdej z kolejnych ćwiartek. Razem 32 punkty, czyli ciut więcej niż w Twojej tezie.
Awatar użytkownika
vpprof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 492
Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 64 razy

Re: Diofantyczne | Punkty na okręgu

Post autor: vpprof »

Haha, nie wiem jak ja to liczyłem, ale rzeczywiście wychodzi 1105 w każdym przypadku.

Dotarłem do zadania z olimpiady matematycznej, w którym trzeba było udowodnić, że dla dowolnej liczby istnieje taki okrąg, który przecina tyleż lub więcej punktów o całkowitych współrzędnych — co z kolei zawiodło mnie do ciekawego filmiku o liczbach pierwszych Gaussa Grubsza sprawa :)

Dzięki!
ODPOWIEDZ