Pewna magiczna macierz
: 4 wrz 2019, o 14:40
Cały czas walczę z jedną macierzą.. I końca nie widać..
Dwie z jej zależności jest aby \(\displaystyle{ 2p^2-1}\) i \(\displaystyle{ 2q^2-1}\) były kwadratami liczb. Jednakże \(\displaystyle{ p}\) jest zależne od \(\displaystyle{ q}\) co powoduje znaczne problemy...
Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ q_n}\) zadany rekurencją:
\(\displaystyle{ \begin{cases}q_n=6q_{n-1}-q_{n-2} \\ q_0=1 \\ q_1=5 \end{cases}}\)
^ Dany ciąg jest rozwiązaniem problemu, aby \(\displaystyle{ 2q^2 -1}\) było kwadratem.
Dodatkowo rozważmy ciąg wielomianów \(\displaystyle{ p_r}\) zależnych od \(\displaystyle{ q}\), zadany kolejną rekurencją:
\(\displaystyle{ \begin{cases}p_r=(4q^2-2)p_{r-1} - p_{r-2} \\ p_0=q \\ p_1=4q^3-3q \end{cases}}\)
Czy istnieje w takim razie \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ r}\) takie , że
\(\displaystyle{ p_r(q_n) \in \{q_z\}}\)
Dwie z jej zależności jest aby \(\displaystyle{ 2p^2-1}\) i \(\displaystyle{ 2q^2-1}\) były kwadratami liczb. Jednakże \(\displaystyle{ p}\) jest zależne od \(\displaystyle{ q}\) co powoduje znaczne problemy...
Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ q_n}\) zadany rekurencją:
\(\displaystyle{ \begin{cases}q_n=6q_{n-1}-q_{n-2} \\ q_0=1 \\ q_1=5 \end{cases}}\)
^ Dany ciąg jest rozwiązaniem problemu, aby \(\displaystyle{ 2q^2 -1}\) było kwadratem.
Dodatkowo rozważmy ciąg wielomianów \(\displaystyle{ p_r}\) zależnych od \(\displaystyle{ q}\), zadany kolejną rekurencją:
\(\displaystyle{ \begin{cases}p_r=(4q^2-2)p_{r-1} - p_{r-2} \\ p_0=q \\ p_1=4q^3-3q \end{cases}}\)
Czy istnieje w takim razie \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ r}\) takie , że
\(\displaystyle{ p_r(q_n) \in \{q_z\}}\)