Pewna magiczna macierz

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
HelperNES
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stęszew

Pewna magiczna macierz

Post autor: HelperNES » 4 wrz 2019, o 14:40

Cały czas walczę z jedną macierzą.. I końca nie widać..

Dwie z jej zależności jest aby \(2p^2-1\) i \(2q^2-1\) były kwadratami liczb. Jednakże \(p\) jest zależne od \(q\) co powoduje znaczne problemy...

Rozważmy ciąg \(q_n\) zadany rekurencją:

\(\begin{cases}q_n=6q_{n-1}-q_{n-2} \\ q_0=1 \\ q_1=5 \end{cases}\)

^ Dany ciąg jest rozwiązaniem problemu, aby \(2q^2 -1\) było kwadratem.

Dodatkowo rozważmy ciąg wielomianów \(p_r\) zależnych od \(q\), zadany kolejną rekurencją:

\(\begin{cases}p_r=(4q^2-2)p_{r-1} - p_{r-2} \\ p_0=q \\ p_1=4q^3-3q \end{cases}\)

Czy istnieje w takim razie \(n\) i \(r\) takie , że

\(p_r(q_n) \in \{q_z\}\)

ODPOWIEDZ