Pewna magiczna macierz

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
HelperNES
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stęszew
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 14 razy

Pewna magiczna macierz

Post autor: HelperNES » 4 wrz 2019, o 14:40

Cały czas walczę z jedną macierzą.. I końca nie widać..

Dwie z jej zależności jest aby \(\displaystyle{ 2p^2-1}\) i \(\displaystyle{ 2q^2-1}\) były kwadratami liczb. Jednakże \(\displaystyle{ p}\) jest zależne od \(\displaystyle{ q}\) co powoduje znaczne problemy...

Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ q_n}\) zadany rekurencją:

\(\displaystyle{ \begin{cases}q_n=6q_{n-1}-q_{n-2} \\ q_0=1 \\ q_1=5 \end{cases}}\)

^ Dany ciąg jest rozwiązaniem problemu, aby \(\displaystyle{ 2q^2 -1}\) było kwadratem.

Dodatkowo rozważmy ciąg wielomianów \(\displaystyle{ p_r}\) zależnych od \(\displaystyle{ q}\), zadany kolejną rekurencją:

\(\displaystyle{ \begin{cases}p_r=(4q^2-2)p_{r-1} - p_{r-2} \\ p_0=q \\ p_1=4q^3-3q \end{cases}}\)

Czy istnieje w takim razie \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ r}\) takie , że

\(\displaystyle{ p_r(q_n) \in \{q_z\}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ