Liczby algebraiczne

[pasjonat_matematyki]

Jak wiadomo liczba zespolona jest algebraiczna, jeśli jest rozwiązaniem równania wielomianowego o współczynnikach wymiernych.
Można to równanie wielomianowe rozłożyć następnie na iloczyn wielomianów pierwszych w ciele W. I wtedy liczb algebraiczna jest pierwiastkiem wielomianu pierwszego. Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) będą takimi wielomianami pierwszymi. Okazuje się, że jeśli dla pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ s}\): \(\displaystyle{ P(s)=0 }\)i \(\displaystyle{ Q(s)=0}\), to
\(\displaystyle{ P(x) = t\cdot Q(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest liczbą wymierną. Tego właśnie nie rozumiem.
Gdyby chodziło o ciało liczb rzeczywistych, to sprawa jest prosta, bo jedynymi wielomianami pierwszymi w \(\displaystyle{ \mathbb R}\) są wielomiany pierwszego stopnia lub drugiego z deltą ujemną. Wówczas to samo miejsce zerowe oznacza, że albo oba wielomiany pierwsze są pierwszego (gdy miejsce zerowe jest liczbą rzeczywista) lub drugiego stopnia (gdy miejsce zerowe jest liczbą zespoloną). W przypadku ciała \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) sprawa jest trudniejsza, bo wielomian pierwszy w ciele \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) nie jest pierwszy w \(\displaystyle{ \mathbb R}\). Np: \(\displaystyle{ x^4+1}\). Czy przydaje się tu jakoś kryterium Eisensteina? Zasadnicze twierdzenie algebry? To ostatnie stwierdza, że w ciele liczb zespolonych każdy wielomian rozkłada się na wielomiany stopnia pierwszego. Zatem dla naszej liczby \(\displaystyle{ s}\): \(\displaystyle{ P(x) = (x-s)\cdot R(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x) = (x-s)\cdot J(x)}\). Trzeba jednak pamiętać, że w ciele \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) są wielomianami pierwszymi. I co dalej? Jak dowieść, że \(\displaystyle{ R(x)}\) i \(\displaystyle{ J(x)}\) są tego samego stopnia?

Z góry dziękuję

[Bourder]

Jeżeli są to wielomiany pierwsze (chodzi pewnie o wielomiany nierozkładalne), to nie istnieją wielomiany \(\displaystyle{ R(x)}\) ani \(\displaystyle{ J(x)}\) stopnia różnego od \(\displaystyle{ 0}\). Zatem są one liczbami wymiernymi, skąd \(\displaystyle{ t}\) jest wymierne, ponieważ jesteśmy w tym ciele.

[pasjonat_matematyki]

Ale to by oznaczało, że w pierścieniu wielomianów o współczynnikach wymiernych istnieją tylko wielomiany pierwsze pierwszego stopnia, a tak nie jest, bo na przykład \(\displaystyle{ x^4+1}\) jest pierwszy w tym pierścieniu.

[karolex123]

Po kolei. Rozważamy pierścień wielomianów \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[X]}\) nad ciałem liczb wymiernych. Niech \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C}}\) będzie liczbą algebraiczną nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), i.e. istnieje niezerowy wielomian \(\displaystyle{ f \in \mathbb{Q}[X]}\) taki, że \(\displaystyle{ f(\alpha)=0}\). Teraz można mądrze powiedzieć, że homomorfizm ewaluacji na \(\displaystyle{ \alpha}\), to znaczy odwzorowanie: \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{C} }\) zadane formułą \(\displaystyle{ \varphi(g)=g(\alpha)}\), ma nietrywialne jądro (bo właśnie \(\displaystyle{ f \in \ker \varphi}\)). Jądro jest ideałem w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[X]}\), który jest dziedziną ideałów głównych, a zatem \(\displaystyle{ \ker \varphi = \langle f_0 \rangle}\). Bezpośrednio wynika stąd, że wielomian \(\displaystyle{ f_0}\) jest pierwszy (proste ćwiczenie). Weźmy zatem inny wielomian pierwszy \(\displaystyle{ g_0 \in \mathbb{Q}[X]}\), który znika na \(\displaystyle{ \alpha}\). Wtedy musi być \(\displaystyle{ f_0 | g_0}\), a więc z pierwszości \(\displaystyle{ f_0, g_0}\), zachodzi \(\displaystyle{ g_0=t \cdot f_0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}}\). Mam nadzieję, że o to chodziło autorowi

[pasjonat_matematyki]

A czy da się to wyjaśnić bez terminów takich jak homomorfizm, jądro, ideał? Ten problem pochodzi z książki "Elementy algebry wyższej" Mostowski, Stark. I oni tam jeszcze nie wprowadzają takich terminów.

[HelperNES]

To co rozważasz to po prostu stwierdzenie, że istnieje tylko jeden wielomian pierwszy \(\displaystyle{ f}\) spełniający dla \(\displaystyle{ s\in\mathbb{C}}\) warunek \(\displaystyle{ f(s)=0}\), a jeżeli pierwszy wielomian \(\displaystyle{ g}\) spełnia tą samą własność to musi być przeskalowanym wielomianem \(\displaystyle{ f}\).

Przykład:

Niech \(\displaystyle{ s=0}\) wtedy wielomianem pierwszym \(\displaystyle{ f}\) jest wielomian \(\displaystyle{ f(x)=x}\).

Dodatkowo możemy patrzeć na wielomiany \(\displaystyle{ g_1(x)=2x,\ g_2(x)=3x,\ \ldots}\)

Ale to są tylko przeskalowani,a bo możemy powiedzieć, że \(\displaystyle{ g_1(x)=2x=2f(x),\ g_2(x)=3x=3f(x),\ \ldots}\)

[karolex123]

Te pojęcia są bardzo podstawowe w algebrze (ideał, jądro, homomorfizm pierścieni) i myślę, że warto je jak najszybciej opanować (jeśli ktoś interesuje się algebrą, teorią liczb). Ale owszem, można to wszystko wyjaśnić i opowiedzieć nie używając explicite tych terminów

Niech zatem \(\displaystyle{ f_0 }\) będzie wielomianem nierozkładalnym nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), którego pierwiastkiem jest jakaś liczba zespolona \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C}}\). Niech teraz \(\displaystyle{ g}\) będzie dowolnym wielomianem nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \alpha}\). Wykażemy, że wtedy \(\displaystyle{ f_0|g}\).
Istotnie, z twierdzenia o dzieleniu z resztą wielomianów nad ciałem istnieją wielomiany \(\displaystyle{ q,r}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) takie, że \(\displaystyle{ g=f_0 q+r}\), z czego stopień \(\displaystyle{ r}\) jest mniejszy niż stopień \(\displaystyle{ f_0}\). Z tej równości wynika zaś, że \(\displaystyle{ r(\alpha)=0}\). Chcielibyśmy powiedzieć, że stąd \(\displaystyle{ r}\) jest wielomianem zerowym, ale do tego konieczna jest obserwacja, iż w istocie wielomian \(\displaystyle{ f_0}\) ma najmniejszy stopień spośród wszystkich niezerowych wielomianów, których pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \alpha}\) (łatwe sprawdzenie). Wtedy już mamy \(\displaystyle{ r=0}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ f_0|g}\).

Mając już powyższą obserwację łatwo wywnioskować, że jeśli dwa wielomiany nierozkładalne \(\displaystyle{ f,g \in \mathbb{Q}[X]}\) mają wspólny pierwiastek \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C}}\), to te wielomiany są stowarzyszone, i.e. \(\displaystyle{ f|g}\) oraz \(\displaystyle{ g|f}\).

[pasjonat_matematyki]

No właśnie z tym łatwym sprawdzeniem jest najgorzej, bo gdy rozłożyć dowolny wielomian o współczynnikach wymiernych na wielomiany pierwsze i wziąć sobie dowolne dwa spośród nich takie, że \(\displaystyle{ f(s)=0}\) i \(\displaystyle{ g(s)=0}\), to ja nie widzę dlaczego muszą być najmniejszego stopnia. Mielibyśmy uznać, że któryś nich musi być najmniejszego stopnia tylko dlatego, że dla pewnej liczby zespolonej się zerują? Ale jak?
Poza tym chyba nie wystarczy powiedzieć, że \(\displaystyle{ r}\) jest zerowy, trzeba jeszcze pokazać, że \(\displaystyle{ q}\) jest zerowego stopnia, prawda?

[karolex123]

Dobrze, spróbuję pomóc z tym sprawdzeniem. Niech więc \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie naszą liczbą algebraiczną. Zdefiniujmy wielomian \(\displaystyle{ f \in \mathbb{Q}[X]}\) jako wielomian najmniejszego możliwego stopnia, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \alpha}\) (taki wielomian istnieje, bowiem istnieje wielomian niezerowego stopnia, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \alpha}\)). Zauważmy, że wielomian \(\displaystyle{ f}\) musi być nierozkładalny nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Rzeczywiście, gdyby \(\displaystyle{ f=f_1 \cdot f_2}\), gdzie stopnie wielomianów \(\displaystyle{ f_1, f_2}\) są dodatnie, to mielibyśmy \(\displaystyle{ f_1(\alpha)=0}\) lub \(\displaystyle{ f_2(\alpha)=0}\). To jest jednak niemożliwe, bo z definicji \(\displaystyle{ f}\) miał mieć najmniejszy stopień spośród wszystkim wielomianów nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), które znikają na \(\displaystyle{ \alpha}\).
Następnie dowodzimy, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ g}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) ma pierwiastek \(\displaystyle{ \alpha}\), to musi zachodzić podzielność \(\displaystyle{ f|g}\). I to już jest widoczne natychmiast z twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztą (dzielimy \(\displaystyle{ g}\) przez \(\displaystyle{ f}\) i spostrzegamy, że reszta musi być \(\displaystyle{ 0}\)). Dalej, weźmy inny wielomian nierozkładalny \(\displaystyle{ p}\), którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \alpha}\). Wtedy już wiemy, że \(\displaystyle{ f|p}\), jednak z nierozkładalności \(\displaystyle{ p}\) musi być \(\displaystyle{ p=t \cdot f}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}}\) (taka jest definicja nierozkładalności)

[pasjonat_matematyki]

No ekstra, bardzo dziękuję.