dowód logarytm

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Szymon66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zalesie
Podziękował: 1 raz

dowód logarytm

Post autor: Szymon66 » 21 sie 2019, o 12:39

Niestety nie bardzo wiem jak zabrać się za to zadanko, mógłbym prosić o jakieś sugestie?
Pokaż, że jedyną liczbą naturalną n, dla której obie liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
są wymierne, jest liczba \(\displaystyle{ n = 1}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: dowód logarytm

Post autor: Jan Kraszewski » 21 sie 2019, o 12:49

To jest proste rozumowanie nie wprost.

JK

Szymon66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zalesie
Podziękował: 1 raz

Re: dowód logarytm

Post autor: Szymon66 » 21 sie 2019, o 14:32

Czyli mam założyć, że każda liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), dla której liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
są wymierne, sa liczby \(\displaystyle{ n\ge 2}\)?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: dowód logarytm

Post autor: Jan Kraszewski » 21 sie 2019, o 15:00

Nie. Założenie nie wprost mówi, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n\ge 2}\) taka, że liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne.

W sumie równie dobrze można ten dowód zrobić wprost, rachunek jest ten sam. Rozważ liczbę naturalną dodatnią \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ \log_2n=\frac{p}{q}}\) i \(\displaystyle{ \log_3n=\frac{r}{s}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\) i zastanów się, co możesz z tych założeń wywnioskować o \(\displaystyle{ n}\).

JK

Szymon66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zalesie
Podziękował: 1 raz

Re: dowód logarytm

Post autor: Szymon66 » 21 sie 2019, o 15:32

Korzystając z definicji logarytmu,
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} } = n}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ q > 0}\) i \(\displaystyle{ s > 0}\) i \(\displaystyle{ n=1}\), także \(\displaystyle{ p=0}\) i \(\displaystyle{ r=0}\)

\(\displaystyle{ 2^{0} = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{0} = n}\)

\(\displaystyle{ 1 = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = n}\)

c.n.d?

Coś takiego?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: dowód logarytm

Post autor: Jan Kraszewski » 21 sie 2019, o 16:01

No skąd!
Szymon66 pisze:Wiemy, że (...) \(\displaystyle{ n=1}\), także \(\displaystyle{ p=0}\) i \(\displaystyle{ r=0}\)
Wcale tego nie wiemy - niby skąd?

Najwyraźniej nie rozumiesz, co trzeba pokazać. To, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne jest oczywiste. Ty masz pokazać, że dla żadnego innego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) tak nie jest. Jeżeli chcesz to zrobić wprost, to powinieneś uzasadnić, że z równości \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\) i \(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} } = n}\) wynika, że \(\displaystyle{ n=1}\).

JK

Szymon66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zalesie
Podziękował: 1 raz

dowód logarytm

Post autor: Szymon66 » 21 sie 2019, o 16:51

\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} }= n}\)
Skoro oba mają być równe \(\displaystyle{ n}\) to:
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)
Żeby \(\displaystyle{ L=P}\) dwa z \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) muszą być równe 0, a wiemy, że \(\displaystyle{ q, s > 0}\) także \(\displaystyle{ p , r = 0}\) zatem
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{0}{q} } = 3^{ \frac{0}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1 = n}\)

Tym razem?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

dowód logarytm

Post autor: Jan Kraszewski » 21 sie 2019, o 16:54

Zdecydowanie lepiej, ale ten fragment
Szymon66 pisze:Żeby \(\displaystyle{ L=P}\) dwa z \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) muszą być równe 0,
wymagałby uzasadnienia.

JK

Szymon66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zalesie
Podziękował: 1 raz

Re: dowód logarytm

Post autor: Szymon66 » 21 sie 2019, o 17:24

Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8525
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: dowód logarytm

Post autor: Dasio11 » 21 sie 2019, o 17:35

Szymon66 pisze:mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)
Jeśli twierdzisz, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) z równości \(\displaystyle{ 2^x = 3^y}\) wynika, że \(\displaystyle{ x = y = 0}\), to jesteś w błędzie, bo na przykład

\(\displaystyle{ 2^{\log_2 5} = 3^{\log_3 5}.}\)

Takie wynikanie zachodzi przy założeniu, że \(\displaystyle{ x, y}\) są nieujemnymi liczbami wymiernymi, ale kontrprzykład w liczbach rzeczywistych wskazuje, że nie jest to trywialne, a zatem wymaga uzasadnienia.

Szymon66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zalesie
Podziękował: 1 raz

Re: dowód logarytm

Post autor: Szymon66 » 21 sie 2019, o 17:44

Nie operuję na liczbach rzeczywistych, \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) należą wszystkie do naturalnych.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: dowód logarytm

Post autor: Jan Kraszewski » 21 sie 2019, o 17:50

Szymon66 pisze:Nie operuję na liczbach rzeczywistych, \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) należą wszystkie do naturalnych.
No i właśnie na to w odpowiedni sposób powinieneś się powołać.

JK

Szymon66
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zalesie
Podziękował: 1 raz

Re: dowód logarytm

Post autor: Szymon66 » 21 sie 2019, o 18:48

Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\)i mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta i podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\).
Ostatnio zmieniony 21 sie 2019, o 18:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14213
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4659 razy

Re: dowód logarytm

Post autor: Premislav » 21 sie 2019, o 18:51

Nie rozumiem, jaką nową jakość to wnosi w porównaniu do poprzednich Twoich wypowiedzi.

Podnieś to \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\) po prostu stronami do potęgi \(\displaystyle{ qs}\) i np. wtedy jedna strona jest parzysta, a druga nie, co prowadzi do sprzeczności (no dla \(\displaystyle{ p,r\ge 1}\), może być jeszcze \(\displaystyle{ p=r=0}\)), a nie tam rękami machasz.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4188 razy

Re: dowód logarytm

Post autor: Jan Kraszewski » 21 sie 2019, o 19:09

Szymon66 pisze:Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\)i mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta
Niedobrze. To jest "argument" w stylu "tak jest, bo tak ma być".
Szymon66 pisze:i podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\).
Dlaczego? Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{\frac{15}{33}}\ne 3^{\frac{7}{25}}}\)? To "uzasadnienie" jest do niczego.

JK

ODPOWIEDZ