Gęstość podzbiorów N

[Legisl]

Niech \(\displaystyle{ \Lambda}\) będzie dowolnym równolicznym podzbiorem \(\displaystyle{ \NN}\) o gęstości zerowej. Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon\in\ (0,1)}\) gęstość zbioru \(\displaystyle{ \Lambda^{1-\epsilon}}\) w \(\displaystyle{ \NN}\) jest większa od zera? gdzie:

\(\displaystyle{ \Lambda^{1-\epsilon}=\lbrace [\lambda_{1}^{1-\epsilon}],[\lambda_{2}^{1-\epsilon}],...\rbrace}\)

Innymi słowy podnosimy każdy element zbioru \(\displaystyle{ \Lambda}\) do potęgi \(\displaystyle{ 1-\epsilon}\) i zaokrąglamy do najbliższej całkowitej liczby. Gęstość zbioru \(\displaystyle{ A}\) określamy poniższym wzorem:

\(\displaystyle{ \delta(A):=\limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\left| A\cap \lbrace 1,2,3,...,n\rbrace\right| }{n}}\)

[Janusz Tracz]

zbiór czwartych potęg ma gęstość zero a dla \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{2}}\) będzie to zbiór kwadratów który też ma zerową gęstość więc nie dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) zachodzi to, że \(\displaystyle{ \Lambda^{1-\epsilon}}\) ma niezerową gęstość.

PS Dlaczego by nie badać \(\displaystyle{ \Lambda^{\epsilon}}\) powinno wyjść na to samo?