Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną, to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ 4a^2+9b^2 -1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n.}\)

Najpierw popatrzmy na równanie diofantyczne
\(\displaystyle{ 4a^2+9b^2=c^2 \ (*)}\).

Niech \(\displaystyle{ a=kl, \ b= \frac{k^2-l^2}{3}}\), przy czym \(\displaystyle{ k,l}\) są jednocześnie podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) bądź jednocześnie niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). Wówczas
\(\displaystyle{ 4a^2+9b^2=4(kl)^2+(k^2-l^2)^2=(k^2+l^2)^2}\), więc gdy \(\displaystyle{ k^2\equiv l^2\pmod{3}}\), to wspomniane równanie \(\displaystyle{ (*)}\) spełniają liczby
\(\displaystyle{ kl, \ \frac{k^2-l^2}{3}, \ k^2+l^2}\)
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\). Ponieważ na mocy twierdzenia Dirichleta istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) spełniających \(\displaystyle{ p\equiv 5\pmod{12}}\) (da się to wykazać bardziej elementarnie, ale nie chce mi się rozpisywać), więc w szczególności możemy wybrać takie \(\displaystyle{ p_0\in \PP}\), że \(\displaystyle{ p_0\nmid n \wedge p_0\equiv 5\pmod{12}}\). Weźmy takie \(\displaystyle{ p_0}\).
W szczególności mamy \(\displaystyle{ p_0\equiv 1\pmod{4}}\), więc z twierdzenia Fermata o sumie dwóch kwadratów (udowadniałem je na algebrze abstrakcyjnej rozszerzonej) istnieją takie \(\displaystyle{ k, l \in \NN^+}\), że \(\displaystyle{ k^2+l^2=p_0}\). A ponieważ \(\displaystyle{ p_0\equiv 2\pmod{3}}\) i kwadrat liczby całkowitej przystaje do \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) modulo \(\displaystyle{ 3}\), więc musi być
\(\displaystyle{ k^2\equiv 1\pmod{3}, \ l^2\equiv 1\pmod{3}}\), w szczególności \(\displaystyle{ k^2\equiv l^2\pmod{3}}\). Mamy zatem
\(\displaystyle{ 4(kl)^2+9\left( \frac{k^2-l^2}{3}\right)^2 =(k^2+l^2)^2=p_0^2}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ (n,p_0)=1}\), więc istnieje takie
\(\displaystyle{ m\in \NN^+}\), że \(\displaystyle{ mp_0\equiv 1\pmod{n}}\). Skoro równanie
\(\displaystyle{ (*)}\), które jest jednorodne stopnia \(\displaystyle{ 2}\) spełniają liczby
\(\displaystyle{ kl, \ \frac{k^2-l^2}{3}, \ p_0}\), to liczby
\(\displaystyle{ mkl, \ m\cdot \frac{k^2-l^2}{3}, \ mp_0}\) także.
Mamy więc
\(\displaystyle{ 4(mkl)^2+4\left( m\cdot \frac{k^2-l^2}{3}\right)^2 -1=(mp_0)^2-1=(mp_0-1)(mp_0+1)}\)
ale \(\displaystyle{ m}\) jest tak dobrane, że \(\displaystyle{ mp_0\equiv 1\pmod{n}}\), co kończy dowód.