Diofantyczne z iloczynem

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ m, n}\) spełnione jest równanie \(\displaystyle{ m^2+n^2 = (m+1)(n+1)}\) ?

[kerajs]

Nie ma takich liczb.
Dla liczb parzystych \(\displaystyle{ m,n}\) lewa strona równania jest liczbą parzystą, a prawa liczbą nieparzystą.
Dla \(\displaystyle{ m, n}\) o różnej parzystości lewa strona równania jest liczbą nieparzystą, a prawa liczbą parzystą.
Dla \(\displaystyle{ n,m}\) nieparzystych lewa strona w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\), a prawa resztę \(\displaystyle{ 0}\).

[Premislav]

Można też tak (mniej elegancko):
\(\displaystyle{ m^2+n^2= \frac{m^2+n^2}{2}+ \frac{m^2+n^2}{2} \ge mn+ \frac{m^2+n^2}{2}}\), więc gdy zachodzi \(\displaystyle{ mn+ \frac{m^2+n^2}{2}>(m+1)(n+1) \ (*)}\), to \(\displaystyle{ m,n}\) nie spełniają równania.
Nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) można zaś przekształcić równoważnie do postaci
\(\displaystyle{ (m-1)^2+(n-1)^2>4}\). Ponieważ lewa strona jest całkowita, więc gdy ta nierówność NIE zachodzi, to mamy \(\displaystyle{ (m-1)^2+(n-1)^2\le 3}\), a to wymusza
\(\displaystyle{ m, n\in \left\{ 0,1,2\right\}}\), przy czym z uwagi na symetrię w wyjściowym równaniu możemy bez straty ogólności założyć, że \(\displaystyle{ m\ge n}\) (gdyby było przeciwnie, rozwiązanie dostalibyśmy z zamiany \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) miejscami). Zatem wystarczy sprawdzić
\(\displaystyle{ (m,n)\in \left\{(0,0), \ (1,1), \ (2,2), \ (1, 0), \ (2,0), \ (2,1)\right\}}\).
Żadna z tych par nie spełnia wyjściowego równania, więc rozwiązania nie istnieją.

[kerajs]

Inaczej:
\(\displaystyle{ 2m^2+2n^2=2(mn+m+n+1)\\
(m-n)^2+(m-1)^2+(n-1)^2=4}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (m-n)^2=4 \\ (m-1)^2=0 \\ (n-1)^2=0 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} (m-n)^2=0 \\ (m-1)^2=4 \\ (n-1)^2=0 \end{cases} \ \vee \ \begin{cases} (m-n)^2=0 \\ (m-1)^2=0 \\ (n-1)^2=4 \end{cases}}\)
Jednak każdy z układów jest sprzeczny.

[Premislav]

Dojechałeś mnie nawet bez ziomali.

Już zamiast rozbijać to tak jak ja, łatwiej byłoby napisać
\(\displaystyle{ x^2> \frac{\left(x+1 \right)^2}{2} \Leftrightarrow (x-1)^2>2}\)
i jeśli całkowite \(\displaystyle{ m,n}\) spełniają tę nierówność, to
\(\displaystyle{ m^2+n^2> \frac{(m+1)^2}{2}+\frac{(n+1)^2}{2}\ge (m+1)(n+1)}\),
a jeśli nie, to \(\displaystyle{ m\in\left\{ 0,1,2\right\} \vee n\in\left\{ 0,1,2\right\}}\), ponieważ równanie jest symetryczne ze względu na \(\displaystyle{ m, n}\), więc wystarczy przetestować kolejno
\(\displaystyle{ m=0, \ m=1, \ m=2}\). W każdym z tych trzech przypadków dostajemy równanie kwadratowe jednej zmiennej bez rozwiązań w całkowitych:
\(\displaystyle{ n^2=n+1\\n^2+1=2n+2\\n^2+4=3n+3}\)