Przedział i układ

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2387 razy
Pomógł: 643 razy

Przedział i układ

Post autor: mol_ksiazkowy » 8 sie 2019, o 15:48

Wyznaczyć najmniejszy możliwie przedział \(\displaystyle{ A \subset \RR,}\) taki że dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) istnieją \(\displaystyle{ b, c \in A}\) spełniające układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=15 \\ab+ac+bc =72. \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 8 sie 2019, o 17:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Interpunkcja.

albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 6 razy

Przedział i układ

Post autor: albanczyk123456 » 8 sie 2019, o 18:47

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^{3}-15x^{2}+72x-abc}\).
Aby równanie
\(\displaystyle{ x^{3}-15x+72x=abc}\) \(\displaystyle{ (1)}\)
miało 3 pierwiastki to \(\displaystyle{ abc \in \left\langle 108;112\right\rangle}\) ( można to zobaczyć np po zbadaniu przebiegu monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x^{3}-15x+72x)}\).
Zauważamy, że zmieniając wartość \(\displaystyle{ abc}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 108;112\right\rangle}\) nasze równanie \(\displaystyle{ (1)}\) najmniejsze rozwiązanie ma dla \(\displaystyle{ abc=108}\), a największe dla \(\displaystyle{ a=112}\). Rozwiązując równania:
\(\displaystyle{ x^{3}-15x^{2}+72x-108=0 \Leftrightarrow (x-6)^{2}(x-3)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{3}-15x^{2}+72x-112=0 \Leftrightarrow (x-4)^{2}(x-7)=0}\)
Otrzymujemy rozwiązanie naszego zadania, tj. \(\displaystyle{ A=\left\langle 3;7\right\rangle}\).

ODPOWIEDZ