przekształcenia NWD

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
mart96a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 8 sie 2019, o 12:04
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

przekształcenia NWD

Post autor: mart96a » 8 sie 2019, o 12:14

Wykaż, że jeżeli liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\) - względnie pierwsze to \(\displaystyle{ NWD(a b^{2}, a^{2}-b )=1.}\)

Prosiłabym chociaż o wskazówkę jak zacząć.
Ostatnio zmieniony 8 sie 2019, o 16:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14195
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 4654 razy

przekształcenia NWD

Post autor: Premislav » 8 sie 2019, o 13:30

Mamy \(\displaystyle{ (a^2-b)(a^2+b)=a^4-b^2}\). Niech \(\displaystyle{ d=\NWD(ab^2, a^2-b)}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ d|(a^2-b)}\), to \(\displaystyle{ d|(a^4-b^2)}\), tym bardziej \(\displaystyle{ d|a(a^4-b^2)}\), a skoro \(\displaystyle{ d|ab^2}\), to widzimy, że
\(\displaystyle{ d|(ab^2+a(a^4-b^2)}\), innymi słowy \(\displaystyle{ d|a^5}\). Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ d>1}\) i niech \(\displaystyle{ p}\) będzie dowolnym dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ d}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ d|a^5}\), to \(\displaystyle{ p|a^5}\), a stąd \(\displaystyle{ p|a}\), wszak \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza. Z drugiej strony
\(\displaystyle{ d|(a^2-b)}\), toteż \(\displaystyle{ p|(a^2-b)}\), a skoro \(\displaystyle{ p|a}\), to \(\displaystyle{ p|a^2}\), a gdy
\(\displaystyle{ p|a^2\wedge p|(a^2-b)}\), to z uwagi na \(\displaystyle{ b=a^2-(a^2-b)}\) mamy, że \(\displaystyle{ p|b}\).
Otrzymaliśmy, że \(\displaystyle{ p|a \wedge p|b}\), ale to jest sprzeczność z warunkiem \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\), stąd nie istnieje żaden dzielnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ d}\), czyli \(\displaystyle{ d=1}\).

ODPOWIEDZ