Zobacz tu
\(\displaystyle{ \rightarrow}\) klik choć są to dość mocne wyniki (w stosunku do tego co postulujesz i od razy dają Twoją tezę) to warto zerknąć z czystej ciekawości. Natomiast
Janusz Tracz, a masz może pomysł na udowodnienia, że od pewnego miejsca zachodzi:
\(\displaystyle{ p_n > 10n}\)?
Udowodnię coś mocniejszego. Dla dowolnej liczby
\(\displaystyle{ a}\) zachodzi od pewnego miejsca
\(\displaystyle{ p_n>an}\) (o
\(\displaystyle{ a}\) myślimy jak o liczbie "dużej" bo jak widać dla
\(\displaystyle{ a<10}\) w zwykłych tablicach już napotykamy na kontrprzykład). Więc najpierw lemat:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln \pi \left( n\right) }{\ln n}=1}\)
\(\displaystyle{ \pi \left( n\right)}\) to standardowo liczba liczb pierwszych mniejszych równych od
\(\displaystyle{ n}\). Wyjdźmy od twierdzenia o liczbach pieszych tj.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\pi(n)}{ \frac{n}{\ln n} }=\lim_{n \to \infty } \frac{\ln n\pi(n)}{ n }=1}\)
(
\(\displaystyle{ n}\) można zastąpić
\(\displaystyle{ x}\) i traktować to jak granicę funkcji a nie ciągu to się przyda w dwóch miejscach potem zatem miej to z tyłu głowy) logarytmując stronami i przekształcając mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \ln\pi(n)+\ln\ln n-\ln n\right) =0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \ln n\left( \frac{\ln\pi(n)}{\ln n} + \frac{\ln\ln n}{\ln n} -1\right) =0}\)
Widać stąd, że nawias musi dążyć do zera bo inaczej równość nie zachodziła by a zachodzi bo to wniosek z twierdzenia o liczbach pieszych, poza tym proste cieczenie z analizy matematycznej pokazuje, że
\(\displaystyle{ \frac{\ln\ln n}{\ln n} \rightarrow 0}\) zatem
\(\displaystyle{ \frac{\ln\pi(n)}{\ln n} \rightarrow 1}\). Skorzystajmy teraz z "definicji Heinego" i zamiast ciągu
\(\displaystyle{ n}\) podstawmy
\(\displaystyle{ p_n}\) wszak jest to rosnący podciąg liczb naturalnych więc podstawiając to do lematu mamy równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln \pi \left( p_n\right) }{\ln p_n}=1}\)
Oczywiście skoro
\(\displaystyle{ \pi\left( n\right)}\) to liczba liczb pierwszych do
\(\displaystyle{ n}\) a
\(\displaystyle{ p_n}\) to
\(\displaystyle{ n}\) ta liczba pierwsza to
\(\displaystyle{ \pi (p_n)=n}\) więc:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n }{\ln p_n}=1}\)
teraz przekształćmy to do postaci równoważnej:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n \cdot {\red {p_n}}}{{\red{\ln p_n \cdot \pi \left( p_n\right)}} } \cdot \frac{\pi \left( p_n\right) }{p_n} =1}\)
czerwony kawałek dąży do
\(\displaystyle{ 1}\) wszak znowu z twierdzenia o liczbach pieszych mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln x} }=1}\) w roli szczególnego ciągu
\(\displaystyle{ x=p_n}\) i po raz kolejny zauważamy, że
\(\displaystyle{ \pi (p_n)=n}\) czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n\ln n}{p_n}=1}\)
więc dla dużych
\(\displaystyle{ n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ p_n \approx n\ln n}\) co oznaczą, że
\(\displaystyle{ \frac{p_n}{n} \approx \ln n}\) czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{p_n}{n}=\lim_{n \to \infty } \ln n= \infty}\)
A to oznacza, że dla dowolnego
\(\displaystyle{ a}\) istnieje takie
\(\displaystyle{ N}\) po którym dla
\(\displaystyle{ n>N}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{p_n}{n}>a}\)
czyli właśnie
\(\displaystyle{ p_n>an}\) zostaje spełnione ze względy na tą granicę. Co kończy dowód.
PS Teraz widać dlaczego Twoja hipoteza zepsuła się dopiero na tak dużym indeksie. Bo funkcja
\(\displaystyle{ \ln n}\) jest wybitnie ślamazarna w rozbieganiu się do nieskończoności i potrzebowała aż
\(\displaystyle{ 10000}\) enów na rozpęd. To tak półżartem pół serio... nie jest to formalny meteorytyczny argument.
PPS To samo rozumowanie pokazuje, że dla dowolnego
ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) dla odpowiednio dużych
\(\displaystyle{ n}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ p_n<n^{1+\epsilon}}\) bo
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n^{\epsilon}} \rightarrow 0}\)