Podzielność a potęga

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ n}\) będą liczbami całkowitymi większymi od 1 o tej własności, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k > 1}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ a_k}\) taka, że \(\displaystyle{ b-a_k^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ k}\). Udowodnić, że istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ A}\), dla której \(\displaystyle{ b=A^n}\)

[Premislav]

Te podzielności zapiszmy jako \(\displaystyle{ b\equiv a_k^n\pmod{k}}\).
Przypuśćmy nie wprost, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k>1}\) istnieje naturalne \(\displaystyle{ a_k}\), dla którego zachodzi powyższa relacja, a jednak \(\displaystyle{ b}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ A^n}\) dla żadnego \(\displaystyle{ A\in \ZZ}\). To oznacza dokładnie to, że pewna liczba pierwsza (co za tym idzie większa niż \(\displaystyle{ 1}\) oczywiście) \(\displaystyle{ p}\) wchodzi do rozkładu \(\displaystyle{ b}\) na czynniki pierwsze z takim wykładnikiem \(\displaystyle{ \alpha\in \NN^+}\), że \(\displaystyle{ n\nmid \alpha}\). Weźmy takie \(\displaystyle{ p\in \PP}\).
Rozpatrzmy \(\displaystyle{ k:=p^{\alpha+1}}\). Z założeń zadania istnieje takie \(\displaystyle{ a_{p^{\alpha+1}}\in\NN}\), że
\(\displaystyle{ b\equiv a_{p^{\alpha+1}}^n\pmod{p^{\alpha+1}}}\)
Z definicji \(\displaystyle{ \alpha=v_p(b)}\) mamy, że \(\displaystyle{ p^{\alpha+1}\nmid b}\), natomiast \(\displaystyle{ p^{\alpha}|b}\). Łatwo widać więc, że liczba przystająca do
\(\displaystyle{ b\pmod{p^{\alpha+1}}}\) musi dzielić się przez \(\displaystyle{ p^{\alpha}}\). Czyli
\(\displaystyle{ a_{p^{\alpha+1}}^n\equiv 0\pmod{p^{\alpha}}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza, więc
stąd \(\displaystyle{ p|a_{p^{\alpha+1}}\). Niech \(\displaystyle{ v_p\left(a_{p^{\alpha+1}}\right)=\gamma}\). Wówczas rzecz jasna \(\displaystyle{ v_p\left(a_{p^{\alpha+1}}^n\right)=n\gamma\ge \alpha}\)
(gdyby zachodziła ostra nierówność w przeciwną stronę, to \(\displaystyle{ a_{p^{\alpha+1}}^n\neq 0\pmod{p^{\alpha}}}\)).
Ale \(\displaystyle{ n\nmid \alpha}\) zgodnie z naszym założeniem nie wprost, toteż nie może być \(\displaystyle{ n\gamma=\alpha}\). Zatem \(\displaystyle{ n\gamma>\alpha}\), a ponieważ obie strony nierówności są całkowite, więc \(\displaystyle{ n\gamma\ge \alpha+1}\).
Czyli mamy jednocześnie:
\(\displaystyle{ b\equiv a_{p^{\alpha+1}}^n\pmod{p^{\alpha+1}}\\b\neq 0\pmod{p^{\alpha+1}}\\ a_{p^{\alpha+1}}^n\equiv 0\pmod{p^{\alpha+1}}}\)

a to natychmiast prowadzi do sprzeczności, która kończy dowód.

BTW Tak na boku: czy nie sądzicie, że dowody nie wprost są przeważnie w jakiś sposób mniej subtelne? Zastanawiam się, na ile jest to moje prywatne odczucie.

Mile widziane też zgrabniejsze rozwiązanie niż to, które przedstawiłem.