Równania diofantyczne - dowód

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
konstytucja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 maja 2019, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - dowód

Post autor: konstytucja »

Witam, mam pytanie do tego zadania:
Udowodnić, że nie istnieją dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c, d,}\) dla których zachodzą równości
\(\displaystyle{ a ^{2} + 6b ^{2} = c ^{2} \\
b ^{2} + 6a ^{2} = d ^{2}}\)


Czy jeśli dodałem równania stronami i udowodniłem, że równanie \(\displaystyle{ 7(a ^{2} +b ^{2})=c ^{2} +d ^{2}}\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, to dowód jest kompletny?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Równania diofantyczne - dowód

Post autor: Premislav »

Tak, pokazałeś bowiem wtedy, że z istnienia rozwiązania tego układu równań wynika coś nieprawdziwego, zatem one nie istnieją.

Rzeczywiście fajny pomysł z tym dodaniem stronami, reszty kwadratowe modulo \(\displaystyle{ 7}\) to \(\displaystyle{ 0,1,2,4}\), więc jeśli
\(\displaystyle{ 7(a ^{2} +b ^{2})=c ^{2} +d ^{2}}\), to łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ c^2\equiv 0\pmod{7}, \ d^2\equiv 0\pmod{7}}\), czyli
\(\displaystyle{ c\equiv 0\pmod{7}, \ d\equiv 0\pmod{7}}\), zapisujemy \(\displaystyle{ c=7c', \ d=7d'}\)
i leci nieskończone schodzenie modulo \(\displaystyle{ 7}\).
konstytucja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 maja 2019, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Równania diofantyczne - dowód

Post autor: konstytucja »

Właśnie tak udowodniłem, dziękuję za odpowiedź.
ODPOWIEDZ