Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą parzystą ; Dowieść że liczby \(\displaystyle{ 1, ..., n-1}\) można ustawić w ciąg w taki sposób żeby żadna z sum kolejnych liczb tego ciągu nie była podzielna przez \(\displaystyle{ n}\)

A co jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste

Z \(\displaystyle{ n}\) nieparzystym teza oczywiście nie zachodzi, czego dowodzi przypadek \(\displaystyle{ n=5.}\) Wtedy zawsze \(\displaystyle{ 5|S_4=10}\). Ciekawsze jest czy teza nie zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego.

Jeżeli tak jak Pan rozumieć to pytanie (też jak przeczytałem, to je tak zrozumiałem i uznałem po prostu, że jest trefne, może niesłusznie), to dla każdej liczby nieparzystej teza nie zachodzi, gdyż
\(\displaystyle{ 1+2+\ldots+(n-1)= \frac{n(n-1)}{2}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), ponieważ \(\displaystyle{ n-1}\) jest liczbą parzystą, czyli \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2}}\) jest liczbą całkowitą (oczywiście ta suma nie zależy od tego, w jakiej kolejności wstawimy składniki).

\(\displaystyle{ 1+ \left( n-2 \right) +2+ \left( n-3 \right) +3+ \left( n-4 \right) +4+...+ \left( n-1 \right)}\)

-- 22 lip 2019, o 06:50 --

Coś nie weszło - Ponownie. Pewniejsze jednak będzie:
\(\displaystyle{ 1+2+ \left( n-2 \right) + 3+ \left( n-3 \right) +...+ \left( n-1 \right)}\)

-- 22 lip 2019, o 06:56 --

Dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) nigdy nie będzie spełnione ponieważ mamy parzystą ilość wyrazów która po zsumowaniu całości
Sumujmy skrajne wyrazy
\(\displaystyle{ 1+ \left( n-1 \right) =n \\
2+ \left( n-2 \right) =n \\
... \\
\left( \frac{n-1}{2} \right) + \left( \frac{n+1}{2} \right) =n}\)

To może podnieśmy poprzeczkę i zapytajmy, na ile sposobów można utworzyć taki ciąg dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\)?

\(\displaystyle{ 1+2+ \left( n-2 \right) + 3+ \left( n-3 \right) +... + \frac{n}{2} + \left( n-1 \right)}\)
Ta aby nie było wątpliwości zostaje niesparowany wyraz \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)
@Gosda
Nie wyczerpuje to zapewne zakresu ale można by zaproponować:
par wyrazów \(\displaystyle{ ...k+ \left( n-k \right) ...}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ \left( \frac{n-4}{2} \right) !}\)
Ponieważ pary można ustawić jeszcze jako \(\displaystyle{ ... \left( n-k \right) +k...}\)
Stąd taki ciągi można ustawić co najmniej na \(\displaystyle{ 2 \cdot \left( \frac{n-4}{2} \right) !}\) sposobów

-- 22 lip 2019, o 08:29 --

Chyba jednak mało jeszcze można podwoić liczbę zamieniając miejscami \(\displaystyle{ 1}\) i\(\displaystyle{ \left( n-1 \right)}\) oraz umieścić wyraz \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) w \(\displaystyle{ \left( n-3 \right)}\) miejscach
co da nam liczbę ok. \(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot \left( n-3 \right) \cdot \left( \left( \frac{n-4}{2} \right) ! \right)}\)