Równanie diofantyczne

[HelperNES]

W swoich badaniach nad pewną macierzą dostałem warunek, który jest następującym równaniem diofantycznym:

\(\displaystyle{ n^4 k^2 + l^2 m^2 k^2 - l^4 m^2 - n^2 m^2 k^2 = 0}\)

Gdzie \(\displaystyle{ m|n\ \wedge\ k|l \wedge\ k,l,m,n \in \mathbb{N}}\)

Łatwo znaleźć trywialne rozwiązania.. Lecz co z tymi mniej trywialnymi?

Pozdrawiam

[kerajs]

Może tak?

Dla:
\(\displaystyle{ n=mp \wedge l=kq}\) gdzie \(\displaystyle{ m,p,k,q \in \NN_+}\)
równanie ma postać:
\(\displaystyle{ m^4p^4 k^2 + k^2q^2 m^2 k^2 - k^4q^4 m^2 - m^2p^2 m^2 k^2 = 0}\)
Dzielę je przez niezerowe \(\displaystyle{ m^2k^2}\)
\(\displaystyle{ m^2p^4 + q^2 k^2 - k^2q^4 - p^2 m^2 = 0\\
(mp)^2(p^2-1)=(kq)^2(q^2-1)}\)

1)
\(\displaystyle{ p^2-1=q^2-1\\
p=q \Rightarrow m=k}\)

2)
\(\displaystyle{ p^2-1=x^2(q^2-1) \ \ \wedge \ x=kq\\
p^2-x^2(q^2-1)=1}\)
Przyjmując kolejno \(\displaystyle{ q=2; 3; ...}\) dostajesz nieskończenie wiele równań Pella.
Dla każdej trójki \(\displaystyle{ (p,x,q)}\) spełniającej równanie Pella uzyskujesz nietrywialną zależność
\(\displaystyle{ k=m \frac{px}{q} \sqrt{ \frac{p^2-1}{q^2-1} }}\)
np:
\(\displaystyle{ (2,1,2) \Rightarrow k=m\\
(7,4,2) \Rightarrow k=56m \\
(26,15,2) \Rightarrow k=2925m}\)

3)
Analogicznie:
\(\displaystyle{ y^2(p^2-1)=q^2-1\\
q^2-y^2(p^2-1)=1}\)
Przyjmując kolejno \(\displaystyle{ p=2; 3; ...}\) dostajesz nieskończenie wiele równań Pella

[HelperNES]

Nie wiem czemu nie dostałem powiadomienia o odpowiedzi... Ale w sumie i tak w weekend bym nie miał jak odpisać.

Kerajs jestem bardzo wdzięczny za tak szybkie rozwiązanie i szczegółowo objaśnione.

Mam tylko jedną uwagę i przez to pytanie. Zakładasz w jednym miejscu, że \(\displaystyle{ x=kq}\) po czym w przykładach trójek \(\displaystyle{ (p, x, q)}\) czasami jest, że \(\displaystyle{ \neg (q|x)}\).

Jeżeli dobrze rozumiem to w takim razie jedne rozwiązania po prostu odpadają?

[kerajs]

Dziękuję za subtelność. Fakt, trochę namieszałem.

Poprawiony problematyczny fragment:
2)
\(\displaystyle{ p^2-1=x^2(q^2-1) \ \ \wedge \ x|kq\\
p^2-x^2(q^2-1)=1}\)
Przyjmując kolejno \(\displaystyle{ q=2; 3; ...}\) dostajesz nieskończenie wiele równań Pella.
Dla każdej trójki \(\displaystyle{ (p,x,q)}\) spełniającej równanie Pella uzyskujesz nietrywialną zależność
\(\displaystyle{ k=m \frac{p}{q} \sqrt{ \frac{p^2-1}{q^2-1} }}\)
gdzie \(\displaystyle{ kp}\) powinno dzielić się przez \(\displaystyle{ x}\)
np:
\(\displaystyle{ (2,1,2) \Rightarrow k=m\\
(7,4,2) \Rightarrow k=14m \\
(26,15,2) \Rightarrow k=195m}\)

Przypuszczam, że zawsze \(\displaystyle{ x}\) będzie dzielnikiem \(\displaystyle{ kq}\) przedstawionego jako \(\displaystyle{ mp \sqrt{ \frac{p^2-1}{q^2-1} }}\)

Przepraszam za zamieszanie.

PS
W 1) wychodzi \(\displaystyle{ l=n}\)
W 2) \(\displaystyle{ l=n\sqrt{ \frac{p^2-1}{q^2-1} }}\)