Pierwiastki wielomianu

[Legisl]

Niech \(\displaystyle{ W(x)}\) będzie wielomianem o współczynnikach niewymiernych i posiadającym rozwiązania w \(\displaystyle{ \QQ}\)
\(\displaystyle{ W(x)= \sum_{n=0}^{k} a_{n}x^{n}\qquad\int W(x)dx= \sum_{n=0}^{k}\bigg(\frac {a_{n}} {n+1}x^{n+1}\bigg)+C=S(x)}\)
Czy dany wielomian \(\displaystyle{ S(x)}\) może posiadać rozwiązania w \(\displaystyle{ \QQ \setminus \left\{ 0\right\},}\) gdy \(\displaystyle{ C=0}\) ?

[Janusz Tracz]

Czy dany wielomian \(\displaystyle{ S(x)}\) może posiadać rozwiązania w \(\displaystyle{ \QQ \setminus \left\{ 0\right\}}\), gdy \(\displaystyle{ C=0}\) ?

Tak. Takim wielomianem jest na przykład \(\displaystyle{ W(x)= \sqrt{2}\left( x^2-2x\right)}\) po scałkowaniu mamy \(\displaystyle{ S(x)= \sqrt{2} \left( \frac{x^3}{3}-x^2 \right)}\) a jednym z jego rozwiązań jest \(\displaystyle{ x=3}\). Ogólniej każdy wielomian postaci \(\displaystyle{ W(x)=\xi\left( x^n-nx^{n-1}\right)}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\) ma wymierny pierwiastek \(\displaystyle{ x=n}\) a po scałkowaniu \(\displaystyle{ S(x)=\xi\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} -x^{n}\right)}\) powstaje wielomian z wymiernym pierwiastkiem \(\displaystyle{ x=n+1}\). Nie sądzę aby to były jedyne wielomiany o tej własności ale już widać, że jest o możliwe.-- 4 lip 2019, o 11:40 --PS Zapomniałem napisać \(\displaystyle{ \xi}\) jest niewymierna

[Legisl]

Bardzo dziękuje za odpowiedź!

[kerajs]

Czy dany wielomian \(\displaystyle{ S(x)}\) może posiadać rozwiązania w \(\displaystyle{ \QQ \setminus \left\{ 0\right\}}\), gdy \(\displaystyle{ C=0}\) ?

Tak. Takim wielomianem jest na przykład \(\displaystyle{ W(x)= \sqrt{2}\left( x^2-2x\right)}\)

Choć odpowiedź jest prawidłowa, to przykład może nie spełniać oczekiwań autora zadania, gdyż współczynnik \(\displaystyle{ a_0=0}\) nie jest niewymierny.

Janusz pewnie potrafi to łatwo naprawić, a idealnie by było gdyby wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) był stopnia \(\displaystyle{ k}\).

[Janusz Tracz]

kerajs dziękuję. Nie widziałem wyrazu wolnego więc o nim zapomniałem. Aby to naprawić póki co wpadłem na przesunięcie tego wielomianu. Na przykład

przykład:    

\(\displaystyle{ W(x)= \sqrt{2}\left( (x-1)^2-2(x-1)\right)= \sqrt{2}x^2-4 \sqrt{2}x+3 \sqrt{2}}\)

ma wymierne pierwiastki \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\) a po scałkowaniu

\(\displaystyle{ S(x)= \sqrt{2}\left( \frac{x^3}{3}-2x^2+3x \right)}\)

również ma wymierny niezerowy pierwiastek \(\displaystyle{ 3}\)

A ogólnie to chyba można to zrobić łatwiej. Ustalmy \(\displaystyle{ q,a_n,a_{n-1},...,a_1\in\QQ}\) oraz \(\displaystyle{ \xi\not\in\QQ}\) i rozważmy wielomian

\(\displaystyle{ W(x)=\xi \left( a_n\left( x-q\right)^n+a_{n-1}\left( x-q\right)^{n-1}+...+a_1\left( x-q\right)\right)}\)

"Widać", że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma wymiarny pierwiastek \(\displaystyle{ q}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma niewymierne współczynniki (również wyraz wolny który na ogół nie jest zerowy)

Po scałkowani mamy

\(\displaystyle{ S(x)=\xi \left( a_n \frac{\left( x-q\right)^{n+1}}{n+1} +a_{n-1} \frac{\left( x-q\right)^{n}}{n}+...+a_1 \frac{\left( x-q\right)^2}{2} \right)}\)

Którego wymiernym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ q}\)

EDIT: Literówka.

[Legisl]

Kerajs ma racje, dziękuję za czujność. Znalazłem wielomian spełniający wszystkie warunki:
\(\displaystyle{ W(x)=\sqrt{2}(3x^{2}-2x-56)}\) rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ -4}\)

\(\displaystyle{ S(x)=\sqrt{2}(x^{3}-x^{2}-56x)=\sqrt{2}(x(x^{2}-x-56))}\) i rozwiązaniem \(\displaystyle{ S(x)}\) jest \(\displaystyle{ -8}\)-- 4 lip 2019, o 15:56 --Janusz Tracz Genialne!