Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

[Kera]

sylvi91 to ja źle dodałem, twój wynik jest oczywiście poprawny.
Następna \(\displaystyle{ F(54)}\)ma \(\displaystyle{ 1320232935}\) liczb pierwszych.

[sylvi91]

sylvi91 to ja źle dodałem, twój wynik jest oczywiście poprawny.
Następna \(\displaystyle{ F(54)}\)ma \(\displaystyle{ 1320232935}\) liczb pierwszych.

To się cieszę, bo już myslałem, że ta implementacja sita ma dziury. Ale jak widać nie ma, bo liczy dokładnie.
No ale zastanawia mnie skąd kolega bierze swoje dane, bo ja nigdzie w sieci nie natkąłem się na takowe.
Wylistowanie tylu liczb do pliku, który można by odczytywać swobodnie, to nie lada wyzwanie.
Program robi obliczenia w pamięci tylko, bo nie mam takich dysków twardych aby zbiory tych liczb pierwszych pomieścić.
Ciekaw jestem czy to się kiedyś łamie ta, powiedzmy to reguła takich zbiorów, że ilość wypada zupełnie inaczej niż dotychczasowe obliczenia wskazują.
Według mnie to można by te obserwacje zastosować do mierzenia gęstości zbiorów liczb pierwszych.

Współczynnik gęstości dla danego zbioru jest chyba równy \(\displaystyle{ P /(Fib(n) - Fib(n-1))}\) Gdzie P jest zbiorem liczb pierwszych.

Gdy ich ilość dzielić przez różnicę wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego to chyba wyniki by właśnie oddawały wartość tego czynnika.
Wzory na takie zależności wynikające z twierdzenia o tych liczbach PNT i innych są dla mnie niezbyt niezrozumiałe.

Skoro wyprowadzam jakąś formułę dla zbiorów liczb pierwszych, to spróbuję z jej pomoca policzyć. OK?

Tak więc między \(\displaystyle{ Fib(n)=28657}\) i \(\displaystyle{ Fib(n+1)=46368}\) jest \(\displaystyle{ 1673}\) liczb pierwszych. W stosunku do \(\displaystyle{ 17711}\) liczb w zbiorze to daje \(\displaystyle{ 0.094461069}\). Czy to możliwy współczynnik gęstości?

Wynik wydaje mi się bardzo prowdopodobny jako rzeczwista gęstosc zbioru.
Tylko, że nia mam jak tego inaczej sprawdzić. Ale z tego ci się orientuję, to gęstośc liczb pierwszych maleje znacznie ze wzrotem \(\displaystyle{ n}\).

Wiem tylko, że:

W zbiorze początkowych 20 liczb naturalnych jest 8 liczb pierwszych ( 2,3,5,7,11,13,17,19 ), czyli 40%. W zakresie od 1 do 10.000 jest 1.229 liczb pierwszych czyli 12,29%, a w zakresie do 1.000.000 jest ich 78.498 tzn. ok. 7,8%.

Wzór na przybliżenie ilości liczb pierwszych (gęstości w zbiorze) w 1896r wyprowadzili matematycy J. Hadamard i Ch. de la Valée-Poussin.

Ma on postać. \(\displaystyle{ n / log (n)}\) a po usprawnieniu \(\displaystyle{ n / (log(n) - 1)}\).

I według tego wzoru wychodzi, że ilośc liczb pierwszych w przykładowym przedziale do stu milionów \(\displaystyle{ [2 , 100000000]}\) wynosi \(\displaystyle{ 5 761 455}\) podczas gdy w rzeczyswistości jest ich \(\displaystyle{ 5 761 584}\).
Nieduża korekta. Z tego gęstośc powinna wyjść na poziomie \(\displaystyle{ 0.05761584}\)

Teraz licząc za pomocą swojego algorytmu do granicy stu milionów wybrać bym musiał, \(\displaystyle{ Fib(40) = 102334155}\) i naliczył bym jakieś \(\displaystyle{ 5 864 497}\). Czyli wszystko wygląda poprawnie. Rząd wielkości się zgadza. Jakieś sto tysięcy liczb więcej na dodatkowe dwa miliony.

Zatem mam pytanie jak obliczać tą gęstość dla zadanych podzbiorów na Złotej Spirali prawidłowo? Nie rozumiem Prime Number Theorem i tego co wyprowadzał Legisil, ale coraz wiecej po wczytaniu się w temat zaczynam łapać.