Zauważyłem bład w moich obliczeniach powinno być:
\(\displaystyle{ \sum_{u \le v} p_{u} \approx p_{u}+p_{v}+\sum_{u+1 \le v-1} u\cdot \ln(u)=\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}\bigg(\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big)\bigg)}\) postępujemy analogicznie, sprawdzamy, czy podana poniżej nierówność zachodzi:
\(\displaystyle{ \pi(k)<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow \pi(p_{v})<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow \frac{p_{v}} {\ln(p_{v})}<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big)}\)
\(\displaystyle{ \frac {v\cdot \ln(v)} {\ln(v\cdot \ln(v))}<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow \frac{v\cdot \ln(v)} {\ln(v\cdot \ln(v))\cdot \ln((\frac{(v-1)!} {u!}))}<1}\) , by to sprawdzić możemy ponownie wrzucić te wyrażenie do generatorów funkcji i przekonać się, że wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji dąży do zera albo jeśli nie ufamy takim stronom, możemy obliczyć następującą granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{v\rightarrow \infty } \frac {v\cdot \ln(v)} {\ln(v\cdot \ln(v))\cdot \ln((\frac{(v-1)!} {u!}))}}\) przy ustalonej stałej
\(\displaystyle{ u}\) , zatem analogicznie skoro
\(\displaystyle{ \pi(k)<\ln(\big(\frac{(v-1)!} {u!})\big)}\) , to musi zajść:
\(\displaystyle{ \pi(k)-\pi(m)<\ln(\big(\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow 1<\frac{\ln(\big(\frac{(v-1)!} {u!})\big)} {\pi(k)-\pi(m)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}<\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {\pi(k)-\pi(m)} \Rightarrow \frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2k}<\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}<Sp}\) z własności granic wyrażenie
\(\displaystyle{ \lim_{v \rightarrow \infty }\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}= \infty}\) , a skoro takie wyrażenie ucieka do nieskończoności, a
\(\displaystyle{ Sp}\) jest większe, to też musi dążyć do nieskończonośći, przy ustalonej stałej
\(\displaystyle{ u}\).
Tak, więc z tego co mówisz, wynikało by, że owa funkcja daje coraz lepsze przybliżenie do
prawidłowego wyniku wraz ze wzrostem wartości, a to nie może być prawda. Uważam, że jest wręcz na odwrót. Daje coraz gorsze przybliżenie ze wzrostem \(\displaystyle{ x}\). Ta teoria ma minus taki, że obliczenia z pomocą funkcji przybliżającej nie muszą odzwierciedlać wcale rzeczywistości.
Uzasadnij Swoje stanowisko, dlaczego tak nie może być. Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało udowodnione, przeszło przez wiele rąk, by sprawdzono jej prawdziwość, lecz jeśli nadal nie wierzysz, możesz ją spróbować obalić bądź udowodnić. Ostrzegam nie jest to łatwe, ale istnieją elementarne dowody tego twierdzenia przy pomocy aksjomatów Peano i artymetyki drugiego rzędu, które zostały wykorzystane przez Erdősa, i Selberga.
Jestem naprawdę ciekaw jakie przybliżenie, dała by Ci twoja kalkulacja. Jeśli margines błędu będzie zbyt duży, to znaczy, że ta stara teoria na której się opierasz nie jest najlepsza i nie odzwierciedla rzeczywistego rozkładu liczb pierwszych.
Bardzo prosze zrób jeszcze raz kalkulacje dla zbioru liczb pierwszych pomiędzy wartościami Fibonacciego \(\displaystyle{ F(51) =20365011074}\) i \(\displaystyle{ F(52) = 32951280099}\)
Nie jest prawdą, że jeśli zrobie kalkulacje i okaże się, że Twoja teza jest prawdziwa dla tych liczb to oznacza, że moja "stara teoria" jest nieprawdziwa. Otoż istnieje twierdzenie, że dowolna hipoteza może zaczać być nieprawdziwą od tak zwanej "Skewes' Number" i jest to liczba:
\(\displaystyle{ 10^{10^{10^{34}}}}\) , zatem Twoja hipoteza może równoważnie być nieprawdziwą dla liczb Fibonacciego większych od Skewes' Number. Ja pokazałem nierówność, która musi zachodzić, ale nie powiedziałem dla jakich liczb, powiedziałem dla dostatecznie dużych, co znaczy, dla takich, których nierowność jest prawdziwa.
Powiedz mi, czy potrafisz to obliczyć swoją metodą?
Bo jeśli nie, to postaraj się zrozumieć, że liczenie dla większych wartości ciągu Fibonacciego nie ma sensu.
Zacznij kolego po kolei... od mniejszych liczb.
Jeśli twoja proponowana funkcja przybliżająca potwierdzi te rezulaty to zrozumiem, że jest dobra i dla dalszych wartości posługiwanie się nią ma sens. Ale jeśli nie potwierdzi nawet tego, to przepraszam kolego, ale wyrzuć ją do kosza.
Nie ma sensu liczenie dla małych wartości właśnie z tego względu, ponieważ jak już mówiłem, przybliżenie funkcji
\(\displaystyle{ \pi(x)}\) staje się coraz lepsze, gdy mamy coraz to większe liczby, zatem moje kalkulacje dla dużych liczb mają jak najbardziej sens. Pondato, korzystając z funkcji które są przybliżające dla coraz to większych argumentów mamy taką własność:
\(\displaystyle{ Sp\sim \frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k} \Leftrightarrow \lim_{k \rightarrow \infty }\frac{Sp} {\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}}=1}\) , co oznacza że moj wzór jest coraz dokładniejszy do Twojego, a skoro moja funkcja jest nieograniczona z góry Twoja też nie może być, co oznacza, że jeśli weżmiemy sobie np. przedział
\(\displaystyle{ [2,F_{t}]}\) i będziemy rozszerzać ten przedział do nieskończoności za pomocą zwiększania parametru
\(\displaystyle{ t}\) , otrzymamy coraz to większy wynik, może on rosnąć bardzo powoli, ale będzie i tak rósł, co kończy mój wywód. Pokazałem, co miałem pokazać, jeśli ktoś chce może spróbować podać prostszy dowód albo mozolnie przeliczyć dla bardzo dużych przedziałów ich wartość
\(\displaystyle{ Sp}\) . Z mojej strony to wszystko, pozdrawiam.