Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
sylvi91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 10 paź 2017, o 04:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 6 razy

Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: sylvi91 »

Cześć.
Zastanowiło mnie połączenie ciągu Fibonacciego ze zbiorem liczb pierwszych.
Uznałem, że przeprowadzę eksperyment i wyrysuję programowo spiralę, a następnie naniosę liczby Fibonacciego oraz liczby Pierwsze.
Gdyby była już taka spirala komuś znana to całkiem dobrze się składa, bo to co ja zauważam może jest wiadome, ale nie było dla mnie jeszcze przed eksperymentem.

Otóż liczby pierwsze na spirali występują w bardzo losowy sposób, to jest pewne.
Przybywa ich pomiedzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego, to jest pewne.

Z obserwacji wynika też coś takiego, że:
Suma liczb pierwszych na spirali pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego podzielona przez ilość liczb pierwszych, a następnie podzielona przez większą liczbę Fibonacciego daje w przybliżeniu połowę Złotej liczby Phi.
Wyjątkiem jest początek spirali, gdzie wartości są równe 1.
Czyli zbiór jest w pewnym sensie związany ze złotą spiralą w ten sposób. Czy może to zbyt naciągany wniosek?

Proszę zarkąć na obrazek okna aplikacji, w której rysowałem spiralę i nanosiłem liczby pierwsze.
Zrobiłem kilka zrzutów, ale grafika może mieć tylko 500 pixeli, a to trochę mało aby zobaczyć spiralę w większej skali.
Na poniższym zrzucie jeszcze można coś dojrzeć gdy się go powiększy.

1:

Kod: Zaznacz cały

https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-3a5145194e3b8cfe6f22c4c4648e38d9


Na tym zrzucie ekranu powinno być widać spiralę i liczby pierwsze.
Istotną rzeczą jest wartość przy zmiennej AVG/F, która pokazuje średnią liczb pierwszych podzieloną przez liczbę Fibonacciego, także ilość liczb pierwszych QTY w przedziale pomiędzy liczbami Fibonacciego, czyli w polu danego kwadratu.

Gdyby ktoś był zainteresowany zabawą z aplikacją, która rysuje ta spiralę, to mogę udostępnić w następnym wpisie. Jest to miniaturowy programik, ale trochę wymagający pod względem mocy sprzętowej. Może działać zarówno na Windows jak i Linux.

To na razie tyle. Dzięki za dotrwanie do końca i pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: Legisl »

Suma liczb pierwszych na spirali pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego podzielona przez ilość liczb pierwszych, a następnie podzielona przez większą liczbę Fibonacciego daje w przybliżeniu połowę Złotej liczby Phi.
\(\displaystyle{ A=\PP \cap F,\quad F_{k}=a>b \wedge a,b\in A \Rightarrow \frac {a+b} { \text{liczba liczb pierwszych}}\cdot \frac{1} {F_{k+1}} \approx \frac {\phi} {2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ F_{k}}\) oznacza \(\displaystyle{ k}\)-tą liczbę Fibonacciego.
Pytanie: Co masz na myśli, mowiąc "ilość liczb pierwszych"? Liczba liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ [1,n]}\) czy o jakim przedziale mówimy?
Poza tym nie zostało udowodnione, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fibonacciego, więc będzie trudno udowodnić Twoją tezę.
Ostatnio zmieniony 5 lip 2019, o 20:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
sylvi91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 10 paź 2017, o 04:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 6 razy

Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: sylvi91 »

Legisl pisze: Pytanie: Co masz na myśli, mowiąc "ilość liczb pierwszych"? Liczba liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ [1,n]}\) czy o jakim przedziale mówimy?
Bardzo dobre pytanie. Dzięki za dociekliwość.
Mówimy o przedziale \(\displaystyle{ [Fib(n),Fib(n+1)]}\) Czyli tylko pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego.
Legisl pisze: Pozatym nie zostało udowodnione, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fibonacciego, więc będzie trudno udowodnić twoją teze
Ale moja teza, nie ma właściwie nic przeciw temu. Każda liczb Fibonacciego, która jest jednoczesnie liczbą Pierwszą powinna występować tylko w jednym podzbiorze. Tak mi się wydaje. Inaczej wyniki bedą się lekko różniły od oczekiwanych.
Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: Legisl »

Mówimy o przedziale \(\displaystyle{ [Fib(n),Fib(n+1)]}\)
Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ k}\) będą liczbami pierwszymi Fibonacciego, czyli Twój rozważany przedział ma wyglądać \(\displaystyle{ [Fib(m),Fib(m+1)]}\), czy tak \(\displaystyle{ [Fib(k),Fib(k+1)]}\) ? Czy może miałeśmiałaś na myśli \(\displaystyle{ [Fib(m),Fib(k)]}\) , gdzie \(\displaystyle{ m<k}\) , bo zauważ, że liczby pierwsze Fibonacciego nie muszą być oddalone tylko o jedną liczbę Fibonacciego, a mogą raczej o dowolnie wiele.
sylvi91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 10 paź 2017, o 04:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 6 razy

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: sylvi91 »

Legisl pisze:... bo zauważ, że liczby pierwsze Fibonacciego nie muszą być oddalone tylko o jedną liczbę Fibonacciego, a mogą raczej o dowolnie wiele.
Kolega ma rację. Teraz zwrócłem uwagę na wzór lepiej go rozumiejąc, bo wyjaśniłeś mi opisowo swoje intencje.

Tylko, że mnie w tej powyższej tezie chodziło o to, aby szukać liczby pierwsze pomiędzy wyrazami ciągu Fibonacciego i tworzyć podzbiory, a jeśli liczba Fibonacciego jest też liczbą pierwszą to sama do tego pozbioru też należy.
Wtedy średnia arytmetyczna każdego kolejnego podzbioru, podzielona przez wyższą liczbę Fibonacciego (górną granicę) da zawsze przybliżenie do stałej zwanej Złotą Liczbą o wartości niewymiernej \(\displaystyle{ 1.6180339887498948420 …}\)

Zobacz wątek o hipotezach, w którym admin Pan Jan K. zedytował formułę o liczbach pierwszych odnoszącą się do tego twierdzenia uznając chyba, że jest prawdopodobna. Kolega @Brombal i ja podajemy przybliżone wartości, wyszukane za pomocą kilku krótkich aplikacji napisanych w Javie czy C. Temat jest rozwojowy... jednak z powodu moich braków w edukacji nie mogę sam przebrnąć przez kilka rzeczy. Dlatego pytam tu i tam, aby się poradzić.
Myslę, że tu na forum jest sporo osób zainteresowanych tematem liczb pierwszych, mam nadzieję, że to wyjaśnienie dla Ciebie da lepsze zrozumienie zagadnienia pozostałym.

Pozdrawiam.

P.S. Przydał by się komputer z min. 64 GB RAM aby uruchomić program dla wiekszych wartości i potwierdzenić lub zaprzeczyć tej tezie. Na tą chwilę aby pokonać barierę pamięci oparacyjnej, będę to musiał robić na plikach sumując wartości liczb pierwszych i wyciągając to czego szukam i jeszcze nawet nie zacząłem analizować tego co zaproponował @Brombal.
Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: Legisl »

Sądzę, że rozumiem już, więc możemy przenieść to w matematyczny zapis zatem:
Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ k}\) będą liczbami pierwszymi Fibonacciego i \(\displaystyle{ m<k}\) , a \(\displaystyle{ X=\bigg\left\{ [F_{s},F_{s+1}],[F_{s+1},F_{s+2}],...,[F_{\ell-1},F{_\ell}]\bigg\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ m=F_{s},k=F_{\ell}}\)
Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że jeśli \(\displaystyle{ \pi (x)}\) jest funkcją zliczajacą ilość liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ [1,x]}\) , to dobrym przybliżeniem tej funkcji jest \(\displaystyle{ \frac {x} {\ln (x)}}\) , które staje się coraz dokładniejsze wraz ze wzrostem argumentu lub można rozważyć logarytm całkowy, który jest jeszcze lepszym przybliżeniem \(\displaystyle{ Li(x)=\int_{0}^{x} \frac {dt} {\ln \left| t\right| }=\ln \left| \ln \left| x\right|\right|+ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac {(\ln \left| x\right|)^{n} } {n\cdot n!}}\) , korzystając z powyższych przybliżeń możemy oszacować twoją tezę: \(\displaystyle{ \frac{1}{(\ell-s)F_{\ell+1}}\sum_{n=0}^{\ell-s} \frac {k+m} {Li(F_{s+n+1}-F_{s+n})}}\) ten strasznie wyglądający wzór jest średnią arytmetyczną i możemy go lekko uprościć, korzystając z faktu, że liczby Fibonacciego są zdefiniowane następująco: \(\displaystyle{ F_{a+1}=F_{a}+F_{a-1}}\) odejmijmy obustronnie przez \(\displaystyle{ F_{a}}\) , wychodzi \(\displaystyle{ F_{a+1}-F_{a}=F_{a-1}}\) , czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(\ell-s)F_{\ell+1}}\sum_{n=0}^{\ell-s} \frac {k+m} {Li(F_{s+n-1})}}\) jednym z ostatnich kroków będzie oszacowanie, czy suma liczb pierwszych Fibonacciego może być większa od ilości liczb pierwszych w pewnym przedziale należącym do \(\displaystyle{ X}\) . Oszacujmy najpierw to z dołu \(\displaystyle{ \frac {k+m} {F_{s-1}}\quad k}\) jest też liczbą Fibonacciego, która jest większa od \(\displaystyle{ F_{s}}\) , zatem \(\displaystyle{ \frac {k+m} {F_{s-1}}>1}\) , a skoro tak, to napewno \(\displaystyle{ \frac {k+m} {Li(F_{s-1})}>>1}\) . Teraz oszacujmy to z góry \(\displaystyle{ \frac{k+m} {F_{\ell-2}}}\) ponownie: \(\displaystyle{ k=F_{\ell}>F_{\ell-2} \Rightarrow \frac {k+m} {F_{\ell-2}}>1 \Rightarrow \frac {k+m} {Li(F_{\ell-2})}>1}\) , zatem każdy wyraz postaci: \(\displaystyle{ \frac {k+m} {Li(F_{g})}>1,\quad s-1 \le g \le \ell-2}\) , a skoro tak, to: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\ell-s} \frac{k+m} {Li(F_{s+n-1})}>\ell-s}\) , dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \ell-s}\): \(\displaystyle{ \frac{1} {\ell-s}\sum_{n=0}^{\ell-s} \frac{\ell-s} {Li(F_{s+n-1})}>1}\) , mnożąc przez \(\displaystyle{ \frac {1} {F_{\ell+1}}}\) : \(\displaystyle{ \frac{1} {(\ell-s)F_{\ell+1}}\sum_{n=0}^{\ell-s} \frac{k+m} {Li(F_{s+n-1})}>\frac{1} {F_{\ell+1}}}\) . Wraz ze wzrostem argumetnu ilość liczb pierwszych coraz mniej rośnie, więc dla dużych liczb pierwszych Twoja teza jest nieprawdziwa, ponieważ tempo wzrostu liczb Fibonacciego dla dużych indeksów jest zbyt duże, by nie być gołosłownym podam kontrprzykład dla Twojej tezy: \(\displaystyle{ F_{569},F_{571}}\) są liczbami pierwszymi Fibonacciego, podstawiając: \(\displaystyle{ \frac {1} {2F_{572}}\sum_{n=0}^{2} \frac {F_{569}+F_{571}} {\ln (F_{568+n})} \approx 3.64587731\cdot 10^{116}}\)
Życzę wszystkim miłego dnia i chwała matematyce!
Ostatnio zmieniony 6 lip 2019, o 21:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: mol_ksiazkowy »

Można jeszcze uzpupełnić o interpretację geometryczna złotego ciągu

\(\displaystyle{ {\blue 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 .... }}\)

sylvi91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 10 paź 2017, o 04:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 6 razy

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: sylvi91 »

@Legisl wywód dałeś niesamowity.
Podziwiam. Chwała matematyce i owszem.
Nie wiem dlaczego przyjąłeś takie założenie, że funkcja zliczająca to \(\displaystyle{ \pi (x)}\) na którym bazowałes robiąc obliczenia, a które już rzekomo podważają moją tezę.
Jak wiem tylko tyle, że na razie to nie da się wyznaczać liczb pierwszych żadnym wzorem bezpośrednio, bo to nie sekwencja taka jak Fibonacci. Można jedynie metodą eliminacji zwanej sitem Erasotenesa określić te liczby dla danego przedziału.

Twóje wyprowadzane wzory są niezbyt dla mnie czytelne... to muszę przyznać... i nie wiem czy tam jest błąd czy takowego nie ma... W pewnych momentach twoich wzorów nawet kompletnie nie rozumiem.
Ale tutaj mnie zaskakujesz...
..podam kontrprzykład dla Twojej tezy: \(\displaystyle{ F_{569},F_{571}}\) są liczbami pierwszymi Fibonacciego, podstawiając: \(\displaystyle{ \frac {1} {2F_{572}}\sum_{n=0}^{2} \frac {F_{569}+F_{571}} {\ln (F_{568+n})} \approx 3.64587731\cdot 10^{116}}\)
Twój przedział liczbowy, który przyjąłeś dla przykładu nie jest wyznaczony kolejnymi liczbami Fibonacciego, tylko przeskoczyłes o jedną dalej. Czemu tak zrobiłeś? Mógłbyś to policzyć dla powiedzmy \(\displaystyle{ F_{1569}}\) do \(\displaystyle{ F_{1570}}}\), albo z innymi wartościami, ale takimi aby podzbiór liczb pierwszych był między dwiema kolejnymi wartosciami ciągu Fibonacciego.

Zobacz też tą formułe przy okazji:

\(\displaystyle{ SP=1/2∗Phi}\)

\(\displaystyle{ SP=(((P1+P2+...+Pn))/QP)/GF}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ SF<Pn<=GF}\)

\(\displaystyle{ P1,P2,Pn}\) - są to liczby pierwsze
\(\displaystyle{ SF}\) - mniejsza wartość ciągu Fibonacciego (dolna granica zbioru)
\(\displaystyle{ GF}\) - wieksza wartość ciągu Fibonacciego (górna granica zbioru)
\(\displaystyle{ SP}\) - suma liczb pierwszych w podzbiorze
\(\displaystyle{ QP}\) - ilość liczb pierwszych w podzbiorze
\(\displaystyle{ Phi}\) - Złota Liczba Phi \(\displaystyle{ 1.618...}\)


Mam nadzieję, że wyjdzie Ci taki wynik aby się zgadzał z moimi założeniami.
Wraz ze wzrostem argumetnu ilość liczb pierwszych coraz mniej rośnie, więc dla dużych liczb pierwszych Twoja teza jest nieprawdziwa, ponieważ tempo wzrostu liczb Fibonacciego dla dużych indeksów jest zbyt duże,...j
Z tym zadniem się niestety nie zgadzam, uważam, że właśnie dlatego jest prawdopodobna. Dlatego że przedział Fibonacciego jest coraz większy daje to możliwość aby w przedziale była wystarczająca ilość liczb pierwszych.


Zrobiłem kalkulację na komputerze moim algorytmem napisanym w C. Graficznie bym tego już nie dał rady przedstawić, dlatego wynik podaje w postaci tekstu.
Ukryta treść:    

Program mógłby działać dalej, ale nie mam tyle pamięci RAM aby tablica liczb pierwszych się zmieściła cała.
Gdyby ktoś zechciał policzyć to ciut dalej u siebie za pomocą komputera to moge udostepnić kod źródłowy.
Czas wykonania jest krótki, ale problem w tym, że z każdym krokiem zbliżamy się do limitu architektury 64 bitowych komputerów.
Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: Legisl »

Nie wiem dlaczego przyjąłeś takie założenie, że funkcja zliczająca to \(\displaystyle{ \pi (x)}\) na którym bazowałes robiąc obliczenia, a które już rzekomo podważają moją tezę.
Jak wiem tylko tyle, że na razie to nie da się wyznaczać liczb pierwszych żadnym wzorem bezpośrednio, bo to nie sekwencja taka jak Fibonacci. Można jedynie metodą eliminacji zwanej sitem Erasotenesa określić te liczby dla danego przedziału.
To prawda, nie istnieje wzór wyznaczający liczby pierwsze, lecz istnieje twierdzenie o liczbach pierwszych mowiące, iż jeśli funkcja \(\displaystyle{ \pi(x)}\) będzie zliaczała nam ilość liczb pierwszych zawartych w przedziale \(\displaystyle{ [1,x]}\) , to dobrym jej przybliżeniem jest funkcja \(\displaystyle{ \frac {x} {\ln (x)}}\) bądź logarytm całkowy. Oba funkcje mają następującą własność: \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty }\frac{\pi(x)}{Li(x)}=1}\) , co oznacza, że dla coraz większych wartości \(\displaystyle{ x}\) funkcja przybliżająca \(\displaystyle{ \pi(x)}\) jest coraz lepszym przybliżeniem. Więcej informacji możesz znaleźć na ten temat "Twierdzenie o liczbach pierwszych" albo "PNT-Prime Number Theorem"
SP=1/2∗Phi

[quote\(\displaystyle{ ]SP=(((P1+P2+...+Pn))/QP)/GF}\)
Gdzie:

\(\displaystyle{ SF<Pn<=GF}\)

P1,P2,Pn - są to liczby pierwsze
SF - mniejsza wartość ciągu Fibonacciego (dolna granica zbioru)
GF - wieksza wartość ciągu Fibonacciego (górna granica zbioru)
SP - suma liczb pierwszych w podzbiorze
QP - ilość liczb pierwszych w podzbiorze
Phi - Złota Liczba Phi 1.618...


Mam nadzieję, że wyjdzie Ci taki wynik aby się zgadzał z moimi założeniami.
Zatem niech nadal \(\displaystyle{ X}\) będzie oznaczać, to samo, co napisałem poprzednim razem.
Ukryta treść:    
Twoja formuła wygląda następująco: \(\displaystyle{ Sp=\frac{\sum_{ u\le v } p_{u}} {(\pi(k)-\pi(m))F_{\ell}}}\) ,gdzie:
\(\displaystyle{ m=p_{u}}\) -\(\displaystyle{ m}\) jest \(\displaystyle{ u}\)-tą liczbą pierwszą
\(\displaystyle{ k=p_{v}}\) -\(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ v}\)-tą liczbą pierwszą
\(\displaystyle{ \pi(k)-\pi(m)}\) ilość liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ [m,k]}\)
\(\displaystyle{ \sum_{u\le v} p_{u}}\)-suma liczb pierwszych od \(\displaystyle{ u}\)-tej liczby pierwszej do \(\displaystyle{ v}\)-tej liczby pierwszej.
Twoja teza: \(\displaystyle{ Sp \approx \frac{\phi} {2}}\) Jak słusznie zauważyłeś nie istnieje wzór na n-tą liczbe pierwszą, lecz istnieją przybliżenia jej i z twierdzenia o liczbach pierwszych mamy też taką własność:\(\displaystyle{ p_{n}\sim n\cdot \log (n)}\) z tej własności wynika takie oto przybliżenie:\(\displaystyle{ \sum_{u \le v}p_{u} \approx p_{v}+p_{u}+\sum_{u+1<v-1} u\cdot \ln (u)}\) z własności logarytmów:\(\displaystyle{ \log _{a}(b)+\log _{a}(c)=\log _{a}(b\cdot c)}\) mamy: \(\displaystyle{ \sum_{u+1<v-1} u\cdot \ln (u)=\frac{v^{2}+v-u^{2}-u-2} {2}\bigg(\ln \big((v-u-1)!\big)\bigg)}\) podstawiając to wszystko do formuły:\(\displaystyle{ Sp=\frac{k+m+\frac{v^{2}+v-u^{2}-u-2} {2}\bigg(\ln \big((v-u-1)!\big)\bigg)} {\bigg(\pi(k)-\pi(m)\bigg)\cdot k}}\) Teraz sprawdźmy, czy jest prawdą, że: \(\displaystyle{ \pi(k)<\ln \big((v-u-1)!\big)}\) Zatem, niech \(\displaystyle{ u}\) będzie jakąś ustaloną stałą np. \(\displaystyle{ 2}\):\(\displaystyle{ \pi(p_{v})<\ln \big((v-2-1)!\big) \Rightarrow \frac{p_{v}} {\ln (p_{v})}<\ln \big((v-3)!\big) \Rightarrow \frac{v\cdot \ln (v)} {\ln (v\cdot \ln (v))}<\ln \big((v-2-1)!\big)}\) podzielmy obustronnie przez \(\displaystyle{ \ln \big((v-2-1)!\big)}\) , wtedy: \(\displaystyle{ \frac{v\cdot \ln (v)} {\ln (v\cdot \ln (v))\cdot \ln \big((v-3)!\big)}<1}\) , co łatwo możemy sprawdzić, wpisując tę formułe do generatorów wykresów funkcji i wyjdzie, że dla dużych wartości \(\displaystyle{ v}\) wartość funkcji \(\displaystyle{ f(v)}\) będzie dążyć do zera, gdzie \(\displaystyle{ f(v)=\frac{v\cdot \ln (v)} {\ln (v\cdot \ln (v))\cdot \ln \big((v-3)!\big)}}\) , a skoro tak to musi zachodzić też: \(\displaystyle{ \pi(k)-\pi(m)<\ln \big((v-3)!\big)}}\) zatem musi zajść: \(\displaystyle{ \frac {\ln \big((v-3)!\big)} {\pi(k)-\pi(m)}>1}\) pomnóżmy przez \(\displaystyle{ \frac{v^{2}+v-u^{2}-u-2} {2}}\) , wtedy: \(\displaystyle{ \frac {\frac{v^{2}+v-u^{2}-u-2} {2}\ln \big((v-3)!\big)} {\pi(k)-\pi(m)}>\frac{v^{2}+v-u^{2}-u-2} {2}}\) podstawmy do pozostałych \(\displaystyle{ u}\) tą stałą \(\displaystyle{ 2}\) : \(\displaystyle{ \frac {\frac{v^{2}+v-2^{2}-2-2} {2}\ln \big((v-3)!\big)} {\pi(k)-\pi(m)}>\frac{v^{2}+v-2^{2}-2-2} {2} \Rightarrow \frac {\frac{v^{2}+v-8} {2}\ln \big((v-3)!\big)} {\pi(k)-\pi(m)}>\frac{v^{2}+v-8} {2}}\) zatem dla dostatecznie dużych liczb Fibonacciego dane wyrażenie będzie uciekać do nieskończoności. Podzielmy przez \(\displaystyle{ k}\) dane wyrażenie: \(\displaystyle{ \frac {\frac{v^{2}+v-8} {2}\ln \big((v-3)!\big)} {(\pi(k)-\pi(m))k}>\frac{v^{2}+v-8} {2k}}\) Tutaj widzimy, że te konkretne wyrażenie też ucieka do nieskończoności dla jeszcze większych dostatecznie dużych liczb Fibonacciego. \(\displaystyle{ Sp=\frac{k+m+\frac{v^{2}+v-u^{2}-u-2} {2}\bigg(\ln \big((v-u-1)!\big)\bigg)} {\bigg(\pi(k)-\pi(m)\bigg)\cdot k}>\frac {\frac{v^{2}+v-8} {2}\ln \big((v-3)!\big)} {(\pi(k)-\pi(m))k}>\frac{v^{2}+v-8} {2k}}\) , a skoro orginalna formuła \(\displaystyle{ Sp}\) jest większa od wyrażenia, które ucieka do nieskończoności, to sama też musi uciekać do nieskończoności, co obala Twoją tezę i kończy mój wywód. Mam nadzieje, że przedstawiony dowód rozwiał Twoje wątpliwości, pozdrawiam i życzę wszystkim miłego dnia, i chwała matematyce!
Ostatnio zmieniony 8 lip 2019, o 01:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
sylvi91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 10 paź 2017, o 04:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 6 razy

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: sylvi91 »

Legisl - cieszę się niezmiernie, że się tak angażujesz w temat. Jednak mam pewne uwagi.

Legisl pisze: To prawda, nie istnieje wzór wyznaczający liczby pierwsze, lecz istnieje twierdzenie o liczbach pierwszych mowiące, iż jeśli funkcja \(\displaystyle{ \pi(x)}\) będzie zliaczała nam ilość liczb pierwszych zawartych w przedziale \(\displaystyle{ [1,x]}\) , to dobrym jej przybliżeniem jest funkcja \(\displaystyle{ \frac {x} {\ln (x)}}\) bądź logarytm całkowy. Oba funkcje mają następującą własność: \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty }\frac{\pi(x)}{Li(x)}=1}\) , co oznacza, że dla coraz większych wartości \(\displaystyle{ x}\) funkcja przybliżająca \(\displaystyle{ \pi(x)}\) jest coraz lepszym przybliżeniem. Więcej informacji możesz znaleźć na ten temat "Twierdzenie o liczbach pierwszych" albo "PNT-Prime Number Theorem"
Tak, więc z tego co mówisz, wynikało by, że owa funkcja daje coraz lepsze przybliżenie do prawidłowego wyniku wraz ze wzrostem wartości, a to nie może być prawda. Uważam, że jest wręcz na odwrót. Daje coraz gorsze przybliżenie ze wzrostem \(\displaystyle{ x}\). Ta teoria ma minus taki, że obliczenia z pomocą funkcji przybliżającej nie muszą odzwierciedlać wcale rzeczywistości.
Jeśli mógłbyś jeszcze pociągnąć temat, to proszę o obliczenie tego samego za pomocą proponowanej przez Ciebie funkcji przybliżającej dla wartości \(\displaystyle{ x \le F (52) = 32951280099}\).

Jestem naprawdę ciekaw jakie przybliżenie, dała by Ci twoja kalkulacja. Jeśli margines błędu będzie zbyt duży, to znaczy, że ta stara teoria na której się opierasz nie jest najlepsza i nie odzwierciedla rzeczywistego rozkładu liczb pierwszych.
Bardzo prosze zrób jeszcze raz kalkulacje dla zbioru liczb pierwszych pomiędzy wartościami Fibonacciego \(\displaystyle{ F(51) =20365011074}\) i \(\displaystyle{ F(52) = 32951280099}\)
Legisl pisze:
... zatem dla dostatecznie dużych liczb Fibonacciego dane wyrażenie będzie uciekać do nieskończoności.
Niestety nie mogę zrozumieć tego fragmentu, i nie wiem skąd taki wniosek. Mógłbyś zrobić, obliczenia dla mniejszego przedziału, takiego jak podałem wyżej? Jestem ciekaw twoich wniosków.
Legisl pisze:
... a skoro orginalna formuła \(\displaystyle{ Sp}\) jest większa od wyrażenia, które ucieka do nieskończoności, to sama też musi uciekać do nieskończoności, co obala Twoją tezę i kończy mój wywód. Mam nadzieje, że przedstawiony dowód rozwiał Twoje wątpliwości, pozdrawiam i życzę wszystkim miłego dnia, i chwała matematyce!
Ale moim zdaniem obliczanie liczb pierwszych taką funkcją jaką zaproponowałeś dla wartości, które przyjąłeś trochę mija się z celem, bo to raczej wygląda mi bardziej na wróżenie z fusów, niż na prawidłową matematyczną kalkulację.

Tu są moje wyniki co do ostatnich podzbiorów, które obliczyłem do tej maksymalnej wartości Fibonacciego
Ukryta treść:    
A więc w ostatnim podzbiorze, który udało mi się obliczyć jest \(\displaystyle{ 524513153}\) liczb pierwszych.
Ich suma to \(\displaystyle{ 13971588312327941675}\), średnia artymetyczna zbioru równa jest \(\displaystyle{ 26637250624}\).
Co z kolei daje z mojego wzoru przybliżeni do Złotej Liczby wynoszące \(\displaystyle{ 1.616766}\)

Powiedz mi, czy potrafisz to obliczyć swoją metodą?
Bo jeśli nie, to postaraj się zrozumieć, że liczenie dla większych wartości ciągu Fibonacciego nie ma sensu.
Zacznij kolego po kolei... od mniejszych liczb.
Jeśli twoja proponowana funkcja przybliżająca potwierdzi te rezulaty to zrozumiem, że jest dobra i dla dalszych wartości posługiwanie się nią ma sens. Ale jeśli nie potwierdzi nawet tego, to przepraszam kolego, ale wyrzuć ją do kosza.
Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: Legisl »

Zauważyłem bład w moich obliczeniach powinno być: \(\displaystyle{ \sum_{u \le v} p_{u} \approx p_{u}+p_{v}+\sum_{u+1 \le v-1} u\cdot \ln(u)=\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}\bigg(\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big)\bigg)}\) postępujemy analogicznie, sprawdzamy, czy podana poniżej nierówność zachodzi:\(\displaystyle{ \pi(k)<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow \pi(p_{v})<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow \frac{p_{v}} {\ln(p_{v})}<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big)}\)
\(\displaystyle{ \frac {v\cdot \ln(v)} {\ln(v\cdot \ln(v))}<\ln\big((\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow \frac{v\cdot \ln(v)} {\ln(v\cdot \ln(v))\cdot \ln((\frac{(v-1)!} {u!}))}<1}\) , by to sprawdzić możemy ponownie wrzucić te wyrażenie do generatorów funkcji i przekonać się, że wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji dąży do zera albo jeśli nie ufamy takim stronom, możemy obliczyć następującą granicę: \(\displaystyle{ \lim_{v\rightarrow \infty } \frac {v\cdot \ln(v)} {\ln(v\cdot \ln(v))\cdot \ln((\frac{(v-1)!} {u!}))}}\) przy ustalonej stałej \(\displaystyle{ u}\) , zatem analogicznie skoro \(\displaystyle{ \pi(k)<\ln(\big(\frac{(v-1)!} {u!})\big)}\) , to musi zajść:
\(\displaystyle{ \pi(k)-\pi(m)<\ln(\big(\frac{(v-1)!} {u!})\big) \Rightarrow 1<\frac{\ln(\big(\frac{(v-1)!} {u!})\big)} {\pi(k)-\pi(m)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}<\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {\pi(k)-\pi(m)} \Rightarrow \frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2k}<\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}<Sp}\) z własności granic wyrażenie \(\displaystyle{ \lim_{v \rightarrow \infty }\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}= \infty}\) , a skoro takie wyrażenie ucieka do nieskończoności, a \(\displaystyle{ Sp}\) jest większe, to też musi dążyć do nieskończonośći, przy ustalonej stałej \(\displaystyle{ u}\).
Tak, więc z tego co mówisz, wynikało by, że owa funkcja daje coraz lepsze przybliżenie do
prawidłowego wyniku wraz ze wzrostem wartości, a to nie może być prawda. Uważam, że jest wręcz na odwrót. Daje coraz gorsze przybliżenie ze wzrostem \(\displaystyle{ x}\). Ta teoria ma minus taki, że obliczenia z pomocą funkcji przybliżającej nie muszą odzwierciedlać wcale rzeczywistości.
Uzasadnij Swoje stanowisko, dlaczego tak nie może być. Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało udowodnione, przeszło przez wiele rąk, by sprawdzono jej prawdziwość, lecz jeśli nadal nie wierzysz, możesz ją spróbować obalić bądź udowodnić. Ostrzegam nie jest to łatwe, ale istnieją elementarne dowody tego twierdzenia przy pomocy aksjomatów Peano i artymetyki drugiego rzędu, które zostały wykorzystane przez Erdősa, i Selberga.
Jestem naprawdę ciekaw jakie przybliżenie, dała by Ci twoja kalkulacja. Jeśli margines błędu będzie zbyt duży, to znaczy, że ta stara teoria na której się opierasz nie jest najlepsza i nie odzwierciedla rzeczywistego rozkładu liczb pierwszych.
Bardzo prosze zrób jeszcze raz kalkulacje dla zbioru liczb pierwszych pomiędzy wartościami Fibonacciego \(\displaystyle{ F(51) =20365011074}\) i \(\displaystyle{ F(52) = 32951280099}\)
Nie jest prawdą, że jeśli zrobie kalkulacje i okaże się, że Twoja teza jest prawdziwa dla tych liczb to oznacza, że moja "stara teoria" jest nieprawdziwa. Otoż istnieje twierdzenie, że dowolna hipoteza może zaczać być nieprawdziwą od tak zwanej "Skewes' Number" i jest to liczba: \(\displaystyle{ 10^{10^{10^{34}}}}\) , zatem Twoja hipoteza może równoważnie być nieprawdziwą dla liczb Fibonacciego większych od Skewes' Number. Ja pokazałem nierówność, która musi zachodzić, ale nie powiedziałem dla jakich liczb, powiedziałem dla dostatecznie dużych, co znaczy, dla takich, których nierowność jest prawdziwa.
Powiedz mi, czy potrafisz to obliczyć swoją metodą?
Bo jeśli nie, to postaraj się zrozumieć, że liczenie dla większych wartości ciągu Fibonacciego nie ma sensu.
Zacznij kolego po kolei... od mniejszych liczb.
Jeśli twoja proponowana funkcja przybliżająca potwierdzi te rezulaty to zrozumiem, że jest dobra i dla dalszych wartości posługiwanie się nią ma sens. Ale jeśli nie potwierdzi nawet tego, to przepraszam kolego, ale wyrzuć ją do kosza.
Nie ma sensu liczenie dla małych wartości właśnie z tego względu, ponieważ jak już mówiłem, przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ \pi(x)}\) staje się coraz lepsze, gdy mamy coraz to większe liczby, zatem moje kalkulacje dla dużych liczb mają jak najbardziej sens. Pondato, korzystając z funkcji które są przybliżające dla coraz to większych argumentów mamy taką własność: \(\displaystyle{ Sp\sim \frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k} \Leftrightarrow \lim_{k \rightarrow \infty }\frac{Sp} {\frac{\frac{v^{2}+v-u^{2}-u} {2}(\ln((\frac{(v-1)!} {u!})))} {(\pi(k)-\pi(m))k}}=1}\) , co oznacza że moj wzór jest coraz dokładniejszy do Twojego, a skoro moja funkcja jest nieograniczona z góry Twoja też nie może być, co oznacza, że jeśli weżmiemy sobie np. przedział \(\displaystyle{ [2,F_{t}]}\) i będziemy rozszerzać ten przedział do nieskończoności za pomocą zwiększania parametru \(\displaystyle{ t}\) , otrzymamy coraz to większy wynik, może on rosnąć bardzo powoli, ale będzie i tak rósł, co kończy mój wywód. Pokazałem, co miałem pokazać, jeśli ktoś chce może spróbować podać prostszy dowód albo mozolnie przeliczyć dla bardzo dużych przedziałów ich wartość \(\displaystyle{ Sp}\) . Z mojej strony to wszystko, pozdrawiam.
sylvi91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 10 paź 2017, o 04:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 6 razy

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: sylvi91 »

@Legisl - Szanuję twój wkład w rozwój tego tematu, jednak szkoda, że nie rozumiemy się. Tzn. ja nie rozumiem.
To sie robi zbyt skomplikowane. No ale podjąłem próbę i nie żałuję.

Gdybyś zapomniał, to funkcją obliczająca moje liczby Fibonacciego to funkcja opisana przez samego Fibonacciego i jej algorytm współcześnie napisany w języku C. Liczby pierwsze wyznaczałem za pomocą starożytnej metody zwanej Sitem Erastotenesa.

Wolę sprawdzone metody niż wydumane teorie o liczbach pierwszych, które naprawdę czasem trudno zrozumieć.
Nawet wielki matematyk Binet, który stworzył jawną funkcję na obliczanie n-tego wyrazu ciągu zrobił to w sposób pokrętny.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g
... B3r_Bineta
Komputer się dławi takimi algorytmami, a nawet potrafi podać złe przybliżenie liczby Fibonacciego.
A co tu dopiero człowiek?

Gdy mówimy z kolei o liczbach pierwszych to tutaj dowodzenie takich teorii metodami jakie proponujesz jest lekko mówiąc nieporozumieniem.
Prosiłem Cię abyś obliczył dla mniejszego przedziału. To jest dla mnie niezrozumiała metoda, ale skoro nie chesz pomóc to cóż. Szkoda? I tak dużo zrobiłeś. Dziękuję Ci za udział i podjęta próbę.

Nie wiem czy zdajesz sobie sprawę, że właśnie te dwie sprawy ciąg Fibo i liczby pierwsze nie zostały prawdopodobnie pokazane nigdy razem na jednym obrazku?
Wszędzie ta Złota Spirala, albo liczby pierwsze, ale naprawdę rzadko razem.

Napisałem w tym celu aplikację do rysowania Złotej Spirali i wyznaczania na niej liczb pierwszych.
Gdyby skrypt forum lepiej obsługiwał wstawianie obrazków włącznie z uploadem na serwer aby linki do nich nie wygasały, jak to się dzieje na wielu forach to było by dużo fajniej prowadzić mi ten wątek.

Legisl pisze:Uzasadnij Swoje stanowisko, dlaczego tak nie może być. Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało udowodnione, przeszło przez wiele rąk, by sprawdzono jej prawdziwość, lecz jeśli nadal nie wierzysz, możesz ją spróbować obalić bądź udowodnić. Ostrzegam nie jest to łatwe, ale istnieją elementarne dowody tego twierdzenia przy pomocy aksjomatów Peano i artymetyki drugiego rzędu, które zostały wykorzystane przez Erdősa, i Selberga.
Nie znam nawet tych Jegomości. Skoro mają rację to nie oznacza chyba jeszcze, że nie mam i ja ze swoją tezą. No ale napradę nie rozumiem tego twojego zapisu czasem.
Zresztą skoro średnia arytmetyczna podzbiorów liczb pierwszych między dwoma następującymi po sobie wyrazami Fibonacciego nie dawała by przybliżenia do połowy Złotej Liczby to było by naprawde dziwne i sprzeczne chyba z zasadą samego ciągu Fibonacciego.
Ale skoro wyszła Ci już z tego wyprowadzenia cała wartośc \(\displaystyle{ 1}\) to do \(\displaystyle{ 0.8}\) czyli połowy Złotej liczby całkiem niezłe przybliżenie.
Tyle z tego twojego wyprowadzenia rozumiem. Skoro poprawiłes już bład to musi byc dobrze.
Legisl pisze: Nie jest prawdą, że jeśli zrobie kalkulacje i okaże się, że Twoja teza jest prawdziwa dla tych liczb to oznacza, że moja "stara teoria" jest nieprawdziwa.
Nie nie, ja tak nie stwierdziłem. Wręcz odwrotnie. Ale po prostu najlepiej będzie jak sam chyba wyprowadzę takie obliczenia dla teego przedziału tym twoim sposobem.
Tylko, że teraz niezbyt potrafię.
No ale nawet sumowanie i dzielenie nie idzie mi dobrze, więc zarzuciłem taką procedurę na komputerze, która to zrobiła
za mnie. W poprzednio wstawionych wynikach zauważyłem, że jednak jest prawdopodobny błąd.
Dla ostatniego podzbioru do sumy liczb pierwszych dodała się wartośc liczby Fibonacciego \(\displaystyle{ F(52)}\). Ilośc liczb pierwszych w podzbiorze powinna być zatem o jeden mniejsza, a suma zbioru mniejsza o wartość tej liczby.
Ale to taki szczegół na marginesie, bo kogo obchodzą takie małe liczby pierwsze, które ledwie mieszczą się w standardowych zmiennych 64 bitowych komputerów.
Dzięki i pozdrawiam.
Kera
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 8 lis 2014, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: Kera »

\(\displaystyle{ F(53)}\)jest \(\displaystyle{ 831994816}\) liczb pierwszych, jeżeli cię to interesuje.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: Brombal »

Legisl pisze:... Nie ma sensu liczenie dla małych wartości właśnie z tego względu, ponieważ jak już mówiłem, przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ \pi(x)}\) staje się coraz lepsze, gdy mamy coraz to większe liczby, zatem moje kalkulacje dla dużych liczb mają jak najbardziej sens. ...
Nie jestem pewien czy przybliżenie staje się coraz lepsze...

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{\pi(n)\ln (n)}{n} \right) =1}\)

A jaki będzie wynik takiej lepszości ?

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \pi(n)- \frac{n}{\ln (n)} \right) =?}\)
Ostatnio zmieniony 9 lip 2019, o 10:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
sylvi91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 10 paź 2017, o 04:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 6 razy

Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

Post autor: sylvi91 »

Kera pisze:\(\displaystyle{ F(53)}\)jest \(\displaystyle{ 831994816}\) liczb pierwszych, jeżeli cię to interesuje.
Dzięki. Właśnie obliczyłem to na komputerze i potwierdzam ten rezultat. W przedziale \(\displaystyle{ [Fib(52),Fib(53)]}\) jest \(\displaystyle{ 831993816}\) liczb pierwszych. Udało mi się je nawet zsumować, Mimo, że wartość wykracza już poza standardowy zakres zmiennych 64 bitowych. Suma wszystkich liczb pierwszych w tym podzbiorze to :\(\displaystyle{ 35859516946159618347 - 53316291173}\), czyli pierwsza wartość pomniejszona o wartość granicy zbioru. Ale tutaj już sobie trudu nie zadałem ile to powinno być. Program, który napisałem, może operować obecnie na wielkich liczbach, większych niż 64 bitowe zmienne. Jeśli będzie ktoś chętny aby uruchomic kod u siebie, na komputerze z wiekszą niż 8GB ilością RAM, to wyniki mogły by pójść o kilka kroków dalej. W jaki spośób Kera osiągnąłeś taki wynik? Skąd wiedziałeś?

Edit. Cos się nie zgadza z naszymi wynikami. Ty masz na końcu \(\displaystyle{ 4816}\) a ja mam \(\displaystyle{ 3816}\). Czyżbym miał błąd w procedurze? Całe tysiąc liczb to spora niedokładność. Nie wiem z czego to może wynikać. Mógłbyś sie upewnić co do swojego rezultatu?
ODPOWIEDZ