Równanie kwadratowe w Z

[niunix98]

Rozstrzygnąć, czy dla każdego \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}}\) istnieje nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ n,k \in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ n^{2} - akn - bk = 0}\).

[Premislav]

Patrzymy na to jak na trójmian kwadratowy zmiennej \(\displaystyle{ n}\) z parametrem \(\displaystyle{ k}\), wyróżnik trójmianu, czyli
\(\displaystyle{ (ak)^2+4bk}\), musi być kwadratem, a z tym bywają problemy, bo gdy
\(\displaystyle{ a=b\in \NN^+}\), to \(\displaystyle{ (ak)^2+4bk=(ak)^2+4ak=ak(ak+4)}\)
musiałoby być kwadratem. Ponieważ te czynniki \(\displaystyle{ ak, ak+4}\) różnią się tylko o \(\displaystyle{ 4}\), to:
1) oba są kwadratami (albo przeciwieństwami kwadratów, ale to za wiele nie zmienia, zamiast \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ -4}\) i \(\displaystyle{ 0}\)) liczb całkowitych, co jest możliwe tylko wtedy, gdy jedna jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a druga \(\displaystyle{ 4}\) (z uwagi na to, że różnica tych potencjalnych kwadratów wynosi \(\displaystyle{ 4}\)), lecz to prowadzi do \(\displaystyle{ k=0}\) i w konsekwencji do \(\displaystyle{ n=0}\), czyli niedobrze;
albo
2) \(\displaystyle{ ak, \ ak+4}\) są postaci \(\displaystyle{ \pm p^2 2^i}\) oraz \(\displaystyle{ \pm q^22^j}\), gdzie
zarówno \(\displaystyle{ i}\), jak i \(\displaystyle{ j}\) są nieparzyste (gdyby obie były parzyste, to \(\displaystyle{ ak, \ ak+4}\) byłyby pełnymi kwadratami, a ten przypadek rozważyliśmy, gdyby zaś różniły się parzystością, to po wymnożeniu nie dostalibyśmy pełnego kwadratu).
Ale wtedy
\(\displaystyle{ \frac{ak}{2}, \ \frac{ak+4}{2}}\) są pełnymi kwadratami (lub liczbami przeciwnymi do pełnych kwadratów) odległymi o \(\displaystyle{ 2}\), a takowe nie istnieją.

Zatem o ile się nie machnąłem, odpowiedź jest negatywna.

[Bran]

\(\displaystyle{ (ak)^2+4bk}\), musi być kwadratem

Dlaczego?

[Premislav]

Rozwiązanie równania kwadratowego z ustalonymi współczynnikami (które tu są całkowite) w liczbach całkowitych jest w szczególności rozwiązaniem tego równania w liczbach rzeczywistych. Na takie rozwiązania w rzeczywistych (po pewnej modyfikacji w zespolonych) mamy wzorki, no a jeśli ten wyróżnik nie będzie kwadratem, to otrzymane z wzorków rozwiązania nie będą całkowite, bo współczynniki są całkowite.
Czyli jak masz rozwiązania postaci
\(\displaystyle{ \frac{-\kappa\pm \sqrt{\Delta}}{2\eta}}\), gdzie \(\displaystyle{ \kappa,\in \ZZ, \ \eta\in \ZZ\setminus\left\{ 0\right\}}\), to o ile \(\displaystyle{ \Delta}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, nie ma szans, by to rozwiązanie było liczbą całkowitą. To są wtedy jedyne rozwiązania równania w rzeczywistych (no o ile wyróżnik jest dodatni, ale z tym za bardzo problemów nie ma, zresztą w przeciwnym razie nie może być żadnych rozwiązań nawet w rzeczywistych).

[Bran]

W rzeczy samej. Dzięki.